Zenei akusztika
Hegedű
A vonóval gerjesztett húr
Írta: Fonyó Ádám
Amikor a hegedű működéséről képet szeretnénk kapni, szembesülnünk kell azzal, hogy nem olyan tisztán írható le, mint a gitár akusztikája. A hegedűkészítők legtöbbször a több száz éves hagyományokra támaszkodva, tapasztalati úton és rengeteg kísérletezéssel készítik el a hegedűket. Gondoljunk csak arra, hogy a manapság is a legjobb hegedűk között számon tartott Stradivari hegedűket a mester az 1700-as évek legelején készítette, éppen amikor a hullámokhoz kapcsolódó alapvető matematikai apparátusokat alkották meg (Heimholz). A mai napig is tudósok sokasága vizsgálja ezeket a hegedűket.
Mitől is van páratlan hangjuk? Formai kialakítás, lakkozás, különleges erezetű hangszerfák és kezelésük, stb..., de lényegében a receptet ma sem tudják pontosan. Azt viszont több teszt is bizonyította, hogy a mai hegedűkészítő mesterek már jobb, kényelmesebb és szebb hangú hegedűket képesek készíteni. Ebben a fejezetcsomagban az alapvető fizikai törvényeket szeretném összefoglalni, továbbá szeretnék kitérni a hegedűkészítők által leírt, különböző hangszerészeti fogások mögött sejthető matematikai és fizikai törvényszerűségekre.
Először meg kell vizsgálni a hegedű működését. Hasonlóan a gitárral foglalkozó fejezetcsomaghoz, itt is a húrtól követem a rezgés útját egészen a szabad légtömegig.
A vonóval gerjesztett húr
A fejezetcsomag első részében a folyamatosan gerjesztett húr fizikájával foglalkozom. Vizsgáljuk meg, hogy mi történik, amikor vonóval gerjesztünk egy húrt!
Ahogy érezzük, ez nem egy magára hagyott, csillapított rendszer, mint a gitár esetében, hanem folyamatosan gerjesztett. (A gitárnál a gerjesztés pusztán egy pillanatnyi hatás és utána a rezgés lefolyása csak a geometrián és az anyagi tulajdonságokon múlik). A hegedűt egy vonó segítségével szólaltatják meg. Tehát már maga a gerjesztés is bonyolult és sokváltozós esemény, amit nagyon nehezen lehet matematikailag leírni.
Tekintsük át a gerjesztésnél lévő változókat!
-
Vonó, azaz a lószőr anyagi tulajdonsága, feszessége, tapadása,
-
a gyanta tapadása,
-
a hegedűs kézereje, amivel a vonót nyomja a húrhoz,
-
a vonó mozgása (gyorsaság, irány)
-
gerjesztés helye, hogy a húr melyik részén húzzuk a vonót.
A fentiek csak szigorúan a gerjesztő eszközhöz kapcsolódnak még nem is esett szó a vonó és a húr interakciójáról, de már így is 8 változónál tartunk!
Az alábbi videó segítségével lassítva nézhetjük meg mi történik a gerjesztés folyamán:
A folyamat elején megindul a vonó és a húr mindaddig a vonóra tapad, amíg a tapadási súrlódási erő ezt lehetővé teszi. Miután a kitérés eléri azt a nagyságot, amikor a húr feszítéséből és rugalmasságából származó erő legyőzi a tapadási erőt, a húr „leszakad” a vonóról és „megpendül”. Ez nem tiszta pendülés, ugyanis a vonó folyamatosan fékezi a húrt, tehát inkább csúszásnak lehet nevezni. Majd amikor a húr a rezgésének következő fél periódusába ér, a közel ugyanakkora sebességgel és ugyanarra mozgó vonóhoz természetesen ismét odatapad; a vonó megint egy kicsit meghúzza a húrt és folytatódik a folyamat. Tehát fél periódusonként a húr újabb gerjesztést kap. Az alább látható képen a fűrészfogas alakzat ennek a folyamatos, félperiódusonként ismétlődő gerjesztésnek a sematikus ábráját mutatja:
Egy sorozatkép segítségével nézzük meg még egyszer, hogy mi történik. Az alábbi ábrasor a megvont húr mozgását illusztrálja:
Látható, hogy a c ponttól az i pontig terjedő szakaszban a húr együtt mozog a vonóval. A tapadási súrlódási erő határozza meg, hogy mekkora amplitúdónál történik meg a „leszakadás” (a pont). Ezután a húr elcsúszik a vonón (a-c pontok közötti szakasz). A húr –ahogy a gitár esetében már megvizsgáltuk-, a rezgésének következő szakaszában az alsó pontról elindul egy felfelé gyorsuló mozgással. Amennyiben a mozgás sebessége megfelelő, ismét tapadási súrlódási erő lép fel. Az ábrasor alapján érezhetjük, hogy a fenti fűrészfogas gerjesztési ábra egy elég leegyszerűsített és idealizált modellt mutat. Egy olyan modellt, amelyben a gerjesztés periódusa és a húr rezgésének periódusa egybeesik.
(Természetesen a húr merevségéből adódóan nincs ilyen éles váltás a függvényben, hanem lekerekített az átmenet).
A valódi mozgást nem egyszerű elképzelni. A vonó folyamatosan tapad és csúszik a húron. A legérzékletesebb hasonlat, mint amikor a kukát húzzuk az aszfalton és a kuka alja mindig beleakad az aszfalt felületén lévő apró kavicsokba; a húzóerő miatt mindig kiugrik onnan és átcsúszik újabb 2 kő közé, mindeközben halljuk a hanghatást és érezzük a rezgést is. A vonó ugyan tapadó-csúszó mozgást végez egy bizonyos periódusszámmal, ez gerjeszti a húrt, de a húr anyagi tulajdonságai miatt a rezgési periódusa a legtöbbször eltér a tapadás-csúszás periódusszámtól, ezért a húr fő rezgésére ezek a további gerjesztések „rárakódnak”. Emiatt dúsabb felhangtartalomra számíthatunk. Nézzük meg, hogy mi járul még hozzá a felhangtartalomhoz!
Már említettem a gerjesztés helyének fontosságát. A húrt nem középen gerjesztjük. A húr, amikor „leszakad” a vonóról, rezegni kezd. Ez a rezgés továbbterjed a húrban, de a vonó a kimozdulást egyből fékezni is kezdi. Majd a húr a rezgésének következő periódusában, a tapadás függvényében pedig mindig kicsit eltérő periódusban kap egy újabb gerjesztést, ezért elég bő felhangtartalomra számíthatunk. Ezért fontos például a megfelelő gyantázás, amivel az újraindítások (és leszakadások) periódusainak és amplitúdóinak ingadozását csökkenthetjük. Ha nem megfelelő a tapadás vagy nem egyenletes a húzás, akkor újabb rezgések indulnak el még azelőtt, hogy a periódus a végéhez érne. Ez megint növeli a felhangtartalmat.
A gitárnál már beszéltünk a csillapítás szükségességéről és módjáról. Látható, hogy ennél a hangszernél a folyamatos gerjesztés jóvoltából nagy csillapítású rezonátort alkalmazhatunk, amely gyorsan és pontosan követi a gerjesztést. A hegedűs minden mozdulatát pontosan követi a hangszer, ezáltal a hegedűvel lehetőségünk nyílik az érzelmek lehető legpontosabb tolmácsolására.
Egyes komponensek leírása
A fenti szakaszokban áttekintettem, hogy mi történik a gerjesztés során. Most vizsgáljuk meg az egyes folyamatokat részletesen.
Heimholz végzett részletes kísérleteket a vonóval gerjesztett húr viselkedésének megértésére. Az ő kísérleteit továbbfejlesztve vizsgálják manapság is. A kísérletek lényege, hogy egy oszcilloszkóp segítségével jelenítik meg a húr mozgását. Az alábbi képeken egy ilyen vizsgálat eredményei láthatóak:
A felső képen a befogáshoz közeli gerjesztés, a másik képen a középen lévő gerjesztés képei láthatóak. A középen történő gerjesztésnél észrevehetjük, hogy a fűrészfogak teljesen szimmetrikusak. A gerjesztés fent részletezett leírásából és a kísérleti eredmények értékeléséből kitűnik, hogy a húr visszatérésénél a csúszó súrlódási erő számottevően nem módosítja a rezgés képét. Ennek oka, hogy a hegedű egy erősen csillapított rendszer. Továbbá az is következik, hogy a húr mozgása ebben az esetben is leírható egy szabadrezgésként. Lássuk, hogy mi történik, ha a vonóerőt változtatjuk:
A felső kép a rezgéskép nem egyenletes súrlódás esetén. Ekkor a súrlódási erő változó és engedi a húrt szabadon kilengeni. A második képen a konstans súrlódás melletti rezgésalakot látjuk, ez esetben megfigyelhető az újabb és újabb rezgések indulása, miközben a húr a saját frekvenciáján is rezeg. A súrlódási erőhöz tehát a gyantázás és a hegedűs nyomóereje járul hozzá, ezért mind a 2 rezgésképet el tudja érni a hegedűs a nyomóerő változtatásával. Kísérleti eredmények azt mutatják, hogy a vonó és a húr közti optimális súrlódási együttható:
A súrlódás a felhangtartalommal van szoros kapcsolatban. A vonó sebessége és a vonás helye pedig a hangintenzitásban játszik nagy szerepet. Kísérletek alapján az összefüggés:
Tehát a maximális amplitúdó arányos a vonó sebességével és fordítottan arányos a gerjesztés helye és a láb közti távolsággal.
Nézzük a kísérleti összefüggést is:
A fentiekből kitűnik, hogy minél hangosabban szeretne játszani valaki, annál inkább a lábhoz közel kell játszania gyors vonóhúzással. Természetesen ennek is van korlátja, hiszen ha nagyon közel gerjesztjük a húrt a lábhoz, akkor az közvetlenül elnyeli az energiát és a visszaverődő hullámok még ki is oltják a gerjesztést.
A nyomóerőnek is vannak kritériumai. A leírtak miatt érezni, hogy ha kis nyomóerővel, de gyorsan húzzuk a vonót, akkor elkezd ugrálni a húron, továbbá minél közelebb vagyunk a lábhoz, annál erősebben kell nyomni a vonót. Ennek a nyomóerőnek a minimuma az alábbi képlettel fejezhető ki...
...ahol:
-
vv a vonó sebessége,
-
Kt a tapadó, Kcs a csúszó súrlódási együttható,
-
L a húr hossza,
-
B a láb és a gerjesztési hely közti távolság.
Lássuk ezt az összefüggést grafikusan...
...és nézzük meg azonos vonósebességgel a különböző nyomóerővel gerjesztett húrok sebesség-idő grafikonját:
Itt is megfigyelhető -mint a nagy nyomóerő esetében–, hogy a húr sebessége nem egyenletes, ez is a dúsabb felhangtartalomra enged következtetni. Emellett természetesen fontos megtudni, hogy melyik az a legnagyobb nyomóerő, amelynél a rezgés még létrejön és nem fékezi le a súrlódás az egész folyamatot:
A komponensek eddig leírt tulajdonságai úgy is felfoghatók, mint a vonóval gerjesztett, szabadrezgést végző húr mozgási egyenleteinek peremfeltételei. Ennek a mozgásnak a leírását -ahogy a gitár akusztikájával foglalkozó fejezetcsomagban is megtettem-, itt szintén el lehet készíteni analitikus és diszkrét módon. Ebben a fejezetben az analitikus képleteket szeretném ismertetni.
A fizikai kísérleteken alapuló főbb jellemzőket az előzőekben már ismertettem. Minden anyagjellemzőt nem lehet figyelembe venni egy matematikai modell megalkotásánál, ugyanis a modell készítésénél az a legfőbb szempont, hogy a valóságot legjobban közelítő, de matematikailag mégis kezelhető képletet, modellt alkossunk. Ezért több anyag-, és viselkedési jellemzőt el kell hanyagolnunk. Ezekre még a későbbiekben kitérek. Ami a képlet megalkotásához szükséges és újdonság a gitárhúrhoz mozgásához képest, hogy a vonó húrra merőleges mozgása, valamint a vonó és a húr közti tapadás miatt a húrban torziós mozgás is fellép.
Tekintsük át azokat a paramétereket, amelyeket a számításaink megkönnyítése érdekében egyszerűsítünk!
Az első az ún. Heimholz-mozgás feltételezése, tehát hogy a húr rezgéshullámai háromszög alakúak, továbbá a húr –mint a gitár esetében is–, tökéletesen rugalmas. Nézzük meg a vizuális modellt, amelyen vizsgálódunk:
A vonó egy merev keret. A vonó szőrei oly módon kapcsolódnak a merev kerethez, hogy egy csillapított rugót iktatunk közbe.
A húr középtengelyének elmozdulását η-vel jelöljük, elfordulását χ-vel jelöljük,
-
a vonókeret sebessége νb,
-
a vonó szőrének elmozdulása ηH,
-
a normál erőt, amely a vonót a húrhoz nyomja, jelöljük fb-vel.
Ebből következik, hogy a súrlódási erő:
Nézzük meg sorban a felírható egyenleteket. Ezek az egyenletek a gerjesztés helyére vonatkoznak, tehát közvetlenül a vonó alatt a húr egy elemi kis részére. Elsőként a vrel sebességet írjuk fel, amely a vonó szőre és a húr közti sebességkülönbség:
Értelmezve a képletet, a húr külső felszínének sebessége megegyezik a középpont sebessége és a kerületi sebesség különbségével. Az a konstans a húr sugara. A vonó sebessége pedig a keret sebességének és a vonó szőrének sebességének összege.
A következő egyenletet Newton második törvényének segítségével írjuk fel, mely az ismert F=m*a képlettel fejezhető ki:
A bal oldalon lévő első tag a húr hajlításából származó erőt, a második tag a csavarásból származó erőt, a harmadik a súrlódásból származó erőt fejezi ki. A T és B paraméter a húr geometriájától és anyagi tulajdonságaitól függő tényező. A harmadik egyenlet a perdületet fejezi ki:
A baloldalon a húr csavarásából és a súrlódásból származó nyomatékok szerepelnek. Jobb oldalon a forgatónyomaték áll, ami a tehetetlenségi nyomaték és a szöggyorsulás szorzata. Természetesen a...
...tapadás esetén és...
...csúszás esetén.
A gerjesztés helyétől távolabb a húr mozgását az előző írásomban már részletezett csillapított rezgőrendszer mozgásával tudjuk leírni. A fenti egyenletek tehát a vonó alatti gerjesztett húr-tömegpont mozgását írják le, a csillapítás értékeit pedig a lélek -kísérletek alapján megállapított-, tulajdonságai adják.
Tehát a húr mozgásáról képet kaphatunk, ha mindkét esetben (csúszás, tapadás) megoldjuk a differenciál-egyenletrendszert. Az egyenlet megoldásához még szükségünk van az anyagi tulajdonságokra, a geometriai tulajdonságokra és a súrlódási együtthatóra. A súrlódási tulajdonságokat szintén csak kísérletek segítségével határozhatjuk meg. A húr rezgésében is vannak bizonytalanságok, például a torziós-, és hullámmozgások visszaverődése, például más, ha ujjal fogjuk le a húrt és más, ha -üresen vont húr esetében-, a nyergen verődnek vissza a hullámok.
A vonóval gerjesztett húr mozgásának leírása nem annyira egyszerű és egzakt, mint a megpengetett húr esetében. Láthatjuk, hogy az anyagi tulajdonságok ismeretével sem tudjuk kifejezni például a vonószőr és a húr közötti súrlódási viselkedést.
Pénzes László