HÍREK
LEGUTÓBBI MÓDOSÍTÁSOK TÁMOGASD A SULIT! ZENÉS
BEMUTATKOZÁS ELKEZDEM
MOST! OSIRE
ÁTTÖRÉS A TECHNIKÁBAN

Zenei akusztika

Gitár

 

A megpendített húr fizikája

 

Írta: Fonyó Ádám

 

Ebben a fejezetben a megpendített húr és az általa keltett rezgés fizikai részleteit tárgyalom. Mielőtt azonban rátérnék a részletekre, egy kis fizikai összefoglalót érzek szükségesnek ahhoz, hogy az alábbi fizikai állítások közérthetőek legyenek.

A hang a rugalmas közeg egy pontjának egyensúlyi helyzetéből való kimozdításával keletkezik. Az adott közeg lehet:

• légnemű,

• szilárd,

• folyékony.

Amikor ennek a közegnek egy pontját (részecskéjét) kimozdítjuk, a súrlódási erő miatt ez a részecske a környező részecskéket is mozgásba hozza. Vagyis nyugalmi helyzetbe való visszaállás előtt átadja energiáját környezetének. Ebből észrevehetjük, hogy a hang terjedésének két komponense van:

1. az egyes részecskék rezgése, amely mozgásba tudja hozni a környező részecskéket,

2. és ennek a rezgő gerjesztésnek pedig van térbeli terjedése is, ez pedig a hanghullám.

Ennek egydimenziós ábrázolásához nagyon jó például rugókkal összekapcsolt súlyok általi modellezés:

 

 

Térbeli terjedésére pedig a tóba dobott kő és az általa gerjesztett hullámok:

 

Részletesen a levegőben és a szilárd testekben terjedő hullámok fontosak számunkra.

 

A rezgések jellemzésére szolgál a frekvencia:

 

 

Tehát a frekvencia a rezgések másodpercenkénti száma, azaz a periódusidő (τ) reciprok értéke. A térbeli terjedést pedig a hullámmozgással írhatjuk le:

 

 

A képlet megmutatja, hogy egy adott hang hullámhossza (λ) a periódusidő (τ) és a sebesség (c) szorzata, vagyis a sebesség és a frekvencia hányadosa.

 

Ezek a hullámok a levegőben, mint sűrűsödés és ritkulás jelentkeznek. Mindenki számára ismert, hogy a hang terjedési sebessége levegőben c_lev=340. Például ha egy 100 Hz frekvenciájú hang a levegőben terjed,  akkor a nyomás maximumok 3,4 m-enként követik egymást a tér minden irányában. A fenti tavas képből jól láthatjuk...

 

 

...hogy a hang a levegőben gömbként terjed egy pontszerű hangforrástól.

 

Miután megismertük a hang terjedését levegőben, láthatjuk, hogy egy hang keletkezéséhez valamiféle „zavar” szükséges. Esetünkben ezt a zavart egy rezgő húr biztosítja. A húr rezgését valamiféle gerjesztés hozza létre. A húr gerjesztését előidézhetjük pengetéssel, ütéssel, vonóval, de dörzsöléssel és csavarással is lehet a húrokban rezgést kelteni, ám ezekkel most nem foglalkozunk.

 

Tekintsük át nagyvonalakban, hogy mi is történik, amikor egy gitárhúrt megpendítünk!

A megpendített húr egy kimozdulás nélküli rendszer, ugyanis a két vége rögzített, ahol az egyik pont a bund, vagy üres húros pengetés esetén a nyereg, a másik pedig a húrláb. Klasszikusan a megpengetett húr frekvenciája:

• fordítottan arányos az azonos tulajdonságú húr hosszúságával,

• egyenesen arányos a feszítettség négyzetgyökével,

• fordítottan arányos az azonos tulajdonságú húr vastagságával,

• fordítottan arányos az egységnyi hosszúságra eső tömeggel.

A megpendített húr mozgásának lefolyása elsősorban csak a kezdeti kitérés helyétől függ. Majd az alábbi levezetésből láthatjuk, hogy az amplitúdótól nem függ a frekvencia. Nagyon fontos viszont, hogy a húr eléggé hajlékony legyen, mert a számítások eredményei csak ekkor adnak pontos megoldást. Amennyiben a húr merevsége nem elhanyagolható, az az alaphang frekvenciáját nem befolyásolja számottevően, de a felhangokét már jelentős mértékben. Ezen felhangok miatt alakul ki a merev húrok jól ismert „fémes”, azaz felhangokban dús csengése. Ha a húr gerjesztése pontszerű, akkor a húron az alábbi ábra által szemléltetett háromszög alakú kitérés lesz látható:

 

 

Természetesen a pontszerű pengetés gitárjáték közben nem kivitelezhető. A húrt minél nagyobb felületen pengetjük meg, annál jobban ellaposodik ennek a háromszögnek a csúcsa.

 

Azt is láthatjuk, hogy a rezgés folyamán a csomópont helye folyamatosan változik, tehát a húr nemcsak az alaphangján rezeg, hanem közben megjelennek a felhangjai is:

 

 

A kezdeti rezgés:

 

 

Felhangjai:

 

 

Azon a helyen, ahol a húrt kipendítjük, az állóhullámok kialakulása után is rezgésnek kell lennie, tehát itt nem jöhet létre csomópont. Rezgés közben nem alakul ki olyan felhang, melynek a megpendítés helyén vagy közvetlen környékén lenne csomópontja. Ezért ha a húrt középen pengetjük meg, a húr páros számú felhangjai nem szólalnak meg. Annak érdekében, hogy a hang minél felhangdúsabb legyen, a húrláb közelében kell a húrt megpengetni.

A bevezetés után nézzük meg részletesen a húr pengetése közben lejátszódó folyamatot. Ha ezt a valóságban is szeretnénk látni, vagy egy gyors kamerára lenne szükségünk, vagy ha egy monitor előtt pengetjük meg a húrt, akkor is látható a rezgés lefolyása a monitor és a rezgő húr frekvenciái között létrejövő fényinterferencia miatt. Most az egyszerűség kedvéért úgy számolok, hogy középen pengetem meg a húrt, mert csak az alaphang frekvenciáját keresem.

 

Az ábrán látható kitéréshez - amint fentiek alapján tudjuk-, az alaphang rezgési alakja tartozik. Most vizsgáljunk meg egy nagyon kis szakaszt a húr rezgési alakja közepén!

 

T₁ és T₂ vektorok a húrban lévő erők. Ezek az erők akkor keletkeznek, amikor hangolás közben a húrt meghúzzuk. Mivel a húr egyensúlyban van horizontális irányban, ezért könnyen beláthatjuk, hogy a T₁ és T₂ vektorok vízszintes komponensei megegyeznek:

 

 

A két erő függőleges komponenseinek eredője az az erő, amely vissza akarja húzni a húrt az eredeti állapotába. Láthatjuk, hogy ez az alak egy nagy sugarú körívhez tartozik és az erő a körív középpontja felé mutat, ezért ez az erő a körmozgáshoz hasonlóan egy centripetális erő lesz. (A centripetális erő a centrifugális erő ellentéteként a testet igyekszik körmozgásában fenntartani.)

 

 

A két erő függőleges komponenseit színusz függvénnyel tudjuk kiszámolni. A koordinátarendszer és az erők iránya miatt lesz mindkét vetület negatív előjelű. Azt tudjuk, hogy az erő megegyezik a tömeg és a gyorsulás szorzatával.

 

A mozgás során kis elmozdulások jönnek létre. A kis elmozdulások elve a mérnöki számításokban elterjedt fogalom. Leegyszerűsítve ez azt jelenti, hogy az elmozduló testek a méretükhöz viszonyítva kis elmozdulásokat szenvednek, kis szögelfordulások formájában, mint esetünkben is. Az pedig ismeretes, hogy nagyon kis szögek esetében a szinusz és a tangens függvények értékei közel azonosak.

 

A húr középső elmozdulásának értéke dy. Az egységnyi húrhosszra jutó tömeg pedig μ. Akkor most írjuk fel egy kicsit másképpen az eredő erőt (a fenti egyenlet jobb oldalát):

 

 

Ha az egységnyi tömeget megszorozzuk a Δx húrhosszal, akkor megkapjuk a húrszakasz tömegét. A gyorsulásról pedig tudjuk, hogy megegyezik az elmozdulás idő szerinti második deriváltjával.

 

Most pedig vizsgáljuk meg az egyenlet bal oldalát!

A fentebb leírt egyszerűsítéseket felhasználva tudjuk, hogy a sin(α) = tg(α), és mivel középen vizsgáljuk a húrt az is egyértelmű, hogy α = β, továbbá T₁=T₂.

Láthatjuk, hogy a centripetális erő és a húrban lévő erők vetülete megegyezik, ezért a negatív előjel nem szükséges. Ezután egyszerűen össze tudjuk vonni a bal oldalt, de előtte még a tg(α)-t fejezzük ki a két befogó hányadosaként:

 

 

Most rendezzük a jobb és bal oldalt:

 

 

Azzal a feltételezéssel éltünk, hogy Δx egy nagyon kis szakasz, más szóval: Δx. Miután elvégeztük ezt a határérték számítást, a következő eredményre jutunk:

 

 

Ez az egyenlet írja le az elmozdulást (y) az idő (t) és a hossz (x) függvényében. Rendezzük tovább az egyenletet:

 

 

Azt tudjuk, hogy az út idő szerinti deriváltja a sebesség, ezért:

 

 

Így megkaptuk a v-t, ami a húrban terjedő hullám sebessége. A továbbiakban már könnyen kiszámolhatjuk ennek a hullámnak a további tulajdonságát is a cikk elején már részletezett számításokkal:

 

 

A húrnak az alaphangját vizsgáltuk és láttuk, hogy a húr alakja ekkor csak az alaphang teljes hullámhosszának fele:

 

 

A fejezet elején már leírt frekvencia-, és húrtulajdonságok arányait a fenti egyenlet összefüggései mutatják meg. A következő részben ezeket a számítási eredményeket hívjuk segítségül, hogy kiszámíthassuk a gitár geometriájának kialakítását.