Tetrachord-skálák III.
A trichord-, és tetrachord-skálakombinációk matematikája
Minap az egyik tanítvány izgatottan mesélte nekem, azt olvasta az egyik jazz-gitáriskola könyvben (X.Y. - Jazz gitáriskola - Zeneműkiadó), hogy a gitáron nemcsak 2, hanem 3 oktávos moll skálák is lejátszhatók! Ehhez mutatott kottaformátumban egy mintát is.
Az állítás igazi spanyolviasz kategória volt éppúgy a tanítvány, mint a könyv szerzőjének részéről. A tanítványnál természetesen nem probléma, elvégre felfedező és tanulási fázisban van, a szerzőtől azonban a Pénzes-féle módszertan jónéhány pontatlanságot tud számonkérni. Most ezt tesszük meg anélkül, hogy egyáltalán nagyon belemerültünk volna a könyvbe (amely persze kissé kényes eljárás, ám a tanítvány hiteles szavaihoz nem férhet kétség).
Nos, aki 2 oktávos skálákat emleget, az nagy valószínűséggel Egyfekvéses skálákban gondolkodik, ez egyébiránt jellemző a jazz-gitár kissé kényelmes stílusára:
G-dúr skála egyfekvéses szerkezetben
Ezeket a skálaszörnyeket részletesen kiveséztük a fenti, linkkel kapcsolt fejezetben.
A Pénzes-féle módszertan által optimálisnak minősített trichord-skálaszerkezeteknek (Alapskálák Ia.) semmi közük nincs a 2 oktávos megközelítésekhez, ugyanis bennük a fő rendezőelv nem az oktávterjedelem, hanem az optimális belső, technikai skálaszerkezet (azaz minden húrra 3 skálahang):
G-dúr skála trichord szerkezetben
Ugyanakkor itt jegyzem meg, hogy trichord-skálaszerkezet immanens módon tartalmazza a 2 oktáv hangterjedelmet, sőt egy kissé még annál is többet. Ez tehát +1 érv a trichord-skálaszerkezetek használata mellett.
Sőt, valójában nem lényeges a 3 oktávos koncepció sem, hiszen ha valaki átlátja a gitáron lecsapódó skálarendszert, akkor oda képes vezetni skáláját, ahová neki tetszik. Pontosan ezzel demonstráltam a tanítványnak a Pénzes-féle módszertan hatékonyságát, hiszen spontán, előre fel nem készülve mutattam neki egy rakás 3 oktávos skálát. Mit is tettem? Azt, amit az előző fejezetben már katalogizáltam és kihangsúlyoztam:
-
az optimális technikai skálaszerkezet egyértelműen a terces (trichord) építkezésű skálák (Alapskálák I.),
-
de lehetséges a skálákat egyetlen húron is lejátszani (Egyhúros gyakorlatok),
-
illetve szakmai analízis alá vettük az Egyfekvéses skálákat is, de inkább elrettentő példaként.
-
A negyedik említésre érdemes csoport a mostani tetrachord-skálák.
Több, említésre és rangsorolásra érdemes technikai skálaszerkezet a standard hangolású gitáron nincs, illetve ha van, akkor az a szerkezet ezek kombinációja.
A kulcsszó a kombináció. Tájékozottságomból adódóan nem tettem mást, mint a demonstrálás során trichord-, és tetrachord-skálatöredékeket egymással kombinálva építettem fel a skálákat. Tanítványom szemében már ez is varázslásnak hatott.
A zeneoktatási anyagok mindig hallgatnak a lehetséges hang-, skála-, és egyéb kombinációk ügyében, talán azért, mert a megközelítés túl matematikai (és így nem értenek hozzá). Ezzel azonban nem tudnak teljes értékű alkotás letenni az asztalra, erre a legtipikusabb eset maga a klasszikus zeneelmélet.
Én természetesen nem fogok ebbe a hibába esni, sőt a Pénzes-féle módszertan átütő erejét éppen ezek a főként kombinatorikai megközelítések adják. Tehát a felfedezés lázától gyötörve most azt nézzük meg, hogy hányféle lehetséges kombinációja lehet egy ilyen 3 oktávos skálaátvezetésnek!
Sokat gondolkodtam azon, hogy miképpen lehetne ezt a problémát számokkal modellezni. A megoldás első körben egyszerűnek tűnt és módosított változata már felmerült az Alapskálák IV. című fejezetben, ahol kiszámolom, hogy 1 db D-dúr skála a gitáron hányféleképpen játszható le.
Az ésszerű szemléltetés kedvéért vegyünk egy 3 oktávos F-dúr skálát. Ez a skála pontosan 22 db szekvenciális hangból áll, mert:
-
F-G-A-B-C-D-E
-
F-G-A-B-C-D-E
-
F-G-A-B-C-D-E-F
Lényeges jelző a szekvencialitás, tehát semmilyen hangismétlés, skálatörés, stb. meg nem engedett. Következésképpen a skálát így is szemléltethetjük:
F-G-A-B-C-D-E-F-G-A-B-C-D-E-F-G-A-B-C-D-E-F
Ez még csak a zeneelméleti megközelítés, most jön a skálák technikai szerkezete. A kikötés itt az, hogy skálaépítésnél csakis trichord-, és tetrachord-skálaszerkezeteket használhatunk fel. A trichord-szerkezeteket szemléltessük a 3 számmal, a tetrachord-skálaszerkezeteket pedig a 4 számmal.
Tehát az alapkövetelmények:
-
csakis 3 és 4 szerepelhet a kombinációkban,
-
pontosan 6 számjegy fordulhat elő (mert 6 db húrunk van),
-
a végeredménynek mindig 22-nek kell lennie, mert ez prezentálja a folyamatos 3 oktávos F-dúr skálát.
Itt van például a tisztán tetrachord-ból felépített F-dúr skála:
Skálaszerkezet-kombinációs képlete a fenti alapkövetelményeknek nem felel meg:
4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 6 x 4 = 24
Láthatjuk -amit a képlet is bizonyít-, hogy a tisztán tetrachord-ból felépített skála 2 hanggal túllóg a megengedetten. A 22 hangból álló végeredmény tehát fontos és kötelező. Mivel a 22 páros szám, bizonyosak lehetünk abban, hogy egyetlen kombinációban sem fog előfordulni a 3 önmagában, mert ebben az esetben a végeredmény is páratlan lenne, ez pedig nem megengedett. (Vagy akkor be kell hoznunk 1 db 5 hangcsoportos skálaszerkezetet, ami szintén tiltott.) Sőt, továbblépve felfedezésünkön észrevehetjük, hogy a +2 hang többletet úgy vagyunk képesek eltüntetni, ha 2 db trichord-szerkezetet használunk fel (mert 3 x 2 = 6). Például:
4 + 4 + 4 + 4 + 3 + 3 = 22
Ez már rávezetett minket a megoldásra, ebben a pillanatban elénk ugrott a jól ismert kombinatorikai kérdés:
6 lyukba hogyan tudunk 2 golyót betenni úgy, hogy a 2 golyót nem tehetjük egymás után 1 lyukba?
Ez ismétlés nélküli kombináció, képlete:
Az összkombinációs mennyiség 15.
A kombinációkat binárisan is ábrázolhatjuk ahol:
-
4 = 0
-
3 = 1
110000
101000
100100
100010
100001
011000
010100
010010
010001
001100
001010
001001
000110
000101
000011
(A kombinációs algoritmus leprogramozását köszönöm Tóth Tamásnak, az OSIRE atyjának!) Ezután nincs más dolgunk, mint felvázolni az OSIRE szuper skálahányó eszközünkkel a 15 db 3 oktávos F-dúr skálát. Az érthetőség végett a skálák azonosításaként bináris számok mellett a konkrét számokat is felhasználom.
110000
3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4
101000
3 + 4 + 3 + 4 + 4 + 4
100100
3 + 4 + 4 + 3 + 4 + 4
100010
3 + 4 + 4 + 4 + 3 + 4
100001
3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 3
011000
4 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4
010100
4 + 3 + 4 + 3 + 4 + 4
010010
4 + 3 + 4 + 4 + 3 + 4
010001
4 + 3 + 4 + 4 + 4 + 3
001100
4 + 4 + 3 + 3 + 4 + 4
001010
4 + 4 + 3 + 4 + 3 + 4
001001
4 + 4 + 3 + 4 + 4 + 3
000110
4 + 4 + 4 + 3 + 3 + 4
000101
4 + 4 + 4 + 3 + 4 + 3
000011
4 + 4 + 4 + 4 + 3 + 3
Pénzes László