HÍREK
LEGUTÓBBI MÓDOSÍTÁSOK TÁMOGASD A SULIT! ZENÉS
BEMUTATKOZÁS ELKEZDEM
MOST! OSIRE
ÁTTÖRÉS A TECHNIKÁBAN

2 oktávos skálakatalógus I.

A 24 hangos hangrendszerben lévő összes hang, hangköz és hangcsoport

 

Bevezetés

 

Bevezetés

A 2 oktávos skálák matematikája

A skálák megjelenítésének problémái

Kapcsolódó fejezetek

 

Bevezetés

 

Zenei hangrendszerünkben -nem számítva a furcsa prím hangközt, amelynek azért van némi létjogosultsága-, az oktáv a legkonszonánsabb, a legjobban "összecsengő" hangköz. Olyan meghatározó ez, hogy minden időben mindegyik zenei kultúra felfedezte magának és sokszor zenei hangrendszerének egyik alappillérévé tette (lásd például a pithagoraszi hangrendszert).

 

A skála latin gyökerű szó, többféle jelentése közül számunkra most a hangmagasság szerint elrendezett hangsor a fontos. A skálának azonban van egy további tulajdonsága, amely olyan egyértelmű mindenki számára, hogy már sehol sincs megemlítve, ez pedig az, hogy a skálává rendezett hangok mindig csakis 1 oktávig tartanak, másképpen fogalmazva: a skálaszerkezet mindig és kizárólag 1 oktávon belül azonos. Tehát amit mi valamilyen névvel illetett (például dúr) skálának nevezünk, az a skálaszerkezet mindig alaphangtól oktávig tart.

 

Furcsa, eddig nem jutott senkinek sem az eszébe, hogy ne csak 1 oktáv terjedelmű legyen egy skálaszerkezet, hanem tartson még tovább, mondjuk 2 oktávig. Ekkor úgy kell elrendeznünk a skálaszerkezetet, hogy éppen 2 oktáv terjedelmű legyen, azaz a benne lévő hangközök sorrendje 2 oktáv után kezdjen ismétlődni.

 

No, akkor essünk is neki ennek az irdatlan mennyiségű munkának!

 

A 2 oktávos skálák matematikája

 

A projekt felvázolásakor (a mérnökök, programozók, "nagyban gondolkodók" jól tudják ezt), sokféle kérdés és gondolat merül fel:

• először is miért nekem jut már megint ez először eszembe és nem valamelyik önjelölt zenei kísérletezőnek, mondjuk egy modern jazz-virtuóznak? Ezt a kérdést nem kell megválaszolnunk, mert sejtjük a választ: a klasszikus zene és a jazz zeneelméleti eszköztára már régesrég nem elég új dolgok felfedezésére, éppen ezért "felhasználói" sem képesek azt kreatívan megragadni.

• Mennyi hangot és milyen hangközökkel kívánunk 2 oktáv közé belegyömöszölni?

• Kiragadott zenei példákat szeretnénk találni vagy érdekel minket a teljes matematikai összkombinációs mennyiség? Az utóbbit választjuk bizonyos kompromisszumokkal.

• Minden olyan hangkombinációt ki kell zárnunk, amely 1 oktávig tart, beleértve minden olyan skálát, amely 1 oktávban zárt. Matematikailag megfogalmazva: a Pénzes-féle bináris skálakatalógus 4096 db összkombinációjából kiesik minden olyan hangkombináció, amely 1 oktáv alatti (például 101000000000) beleértve tehát minden olyan skálát, amelynek véghangja és kezdőhangja az 1. és a 12. hangra esik, azaz 1xxxxxxxxxx1. Észrevehetjük, hogy mivel a 24 hangból álló összkombinációs mennyiség automatikusan tartalmazza a 12 hangos skálakatalógust, ezért a kizárás mind a 4096 db hangkombinációra vonatkozik.

• A 24 hangos skálakatalógus összkombinációs mennyisége a 2²⁴ képlet alapján 16777216. Ha ebből levonjuk a 12 hangos skálakatalógus összkombinációs mennyiségét (2¹² = 4096), akkor is még brutális mennyiségű hangkombinációnk marad: 16773120.

• Ezt a mennyiséget azonban tudjuk redukálni olyan módon, hogy kijelentjük: nem hangkombinációt, hanem skálakombinációkat keresünk. Ugyanis a hangkombinációnak nem kell oktávig tartania, míg a skála kezdőhangjának az oktáv első, véghangjának pedig az utolsónak kell lennie. Tehát az utóbbit választjuk. Ekkor a standard matematikai keret így néz ki:

100000000000000000000001

 

A katalógus tehát 2 standard pozíciójú hangtól indul. A következő szint a 3 hangból álló katalógus, amelyet most akár kézzel is felvázolhatunk:

 

110000000000000000000001

101000000000000000000001

100100000000000000000001

100010000000000000000001

100001000000000000000001

100000100000000000000001

100000010000000000000001

100000001000000000000001

100000000100000000000001

100000000010000000000001

100000000001000000000001

100000000000100000000001

100000000000010000000001

100000000000001000000001

100000000000000100000001

100000000000000010000001

100000000000000001000001

100000000000000000100001

100000000000000000010001

100000000000000000001001

100000000000000000000101

100000000000000000000011

 

Hát ez még eléggé messze áll az élvezhető skálától, de mindenesetre már jó úton vagyunk felé. Vegyük észre, hogy mivel a 2 hangos keret állandó...

 

100000000000000000000001

 

...ezért matematikailag nézve 2²² = 4194304 skálánk fog keletkezni, mert a 2 db szélső 1 között 22 db 0 van. Ebből fentebb már megalkottuk az első, 3 hangos sorozatot (22 db).

 

A többi skála megjelenítését nyilvánvalóan algo-, és ritmizálnunk kell. Ebben Tóth Tamás barátom, az OSIRE atyja volt segítségemre...

 

 

...aki a 24 hangos skálakatalógust PHP-ben szempillantás alatt leprogramozta. Alább Tamás jóvoltából 2 állományt is letölthetünk. Az egyikük egy olyan alkalmazás (exe), amely sorszámozva kilistázza mind a 4194304 skálakombinációt, a másik pedig egy .zip-formátumba csomagolt .txt-állomány, a sorszámozott és kilistázott skálakatalógus.

 

72 KB - .exe

 

20,2 MB - .zip

 

A skálák megjelenítésének problémái

 

Figyelem! A txt-állomány kicsomagolt állapotban több mint 140 MB lesz, illetve kibontása -függően a számítógép teljesítményétől-, nagyon hosszú ideig fog tartani!

 

Egyúttal kénytelen vagyok még egy informatikai problémát jelezni.

A HTML-oldalakat bizony nem arra találták ki, hogy több tíz-, illetve százezres darabszámú skálákat jelenítsenek meg pillanatok alatt. Modern, közepes erejű ACER laptopom HTML-szerkesztője már a 7 hangból álló skálakatalógus 26334 db skálájától hanyatt vágódott, amely 10 perces homokórázásban mutatkozott meg. A művelet végül egy 1 MB-os megaHTML-oldal generálásával záródott, ám ez a méret még sehol sincs például 13 hangból álló skálakatalógus 705432 db skálájához képest (annak körülbelül az 1/26 része). Egyúttal ez azt jelenti, hogy ilyen nagyságú HTML-oldalakkal képes volnék a Tisztelt Olvasó böngészőjét is legyilkolni. Ennek elkerülése érdekében kénytelen vagyok a 10000 darabnál nagyobb skálaobjektumokat .txt-formátumban publikálni az alábbi módon:

• megadom a skálaobjektum első és utolsó sorszámozott tagját, a középső rész pedig letölthető és kibontható .zip-ből .txt-formátumba. A végső megoldás a 10000 skálánál többet tartalmazó fejezetekben ilyen módon fog kinézni:

 

Kapcsolódó fejezetek

 

Az alábbi fejezetekben a 4194304 db hang, hangköz és hangcsoport binárisan teljes kidolgozásra kerül. A 12 hangos skálakatalógus bevezetőjében már végeztünk egy gyors, ellenőrző számítást. A képlet itt is a már jól ismert kombinatorikai, annak ismétlés nélküli kombinációs képlete...

 

 

...ahol:

• n = 22

• k = változó

Tehát ellenőrizzük le a részeredményt a már ismert 3 hangos skálakatalógusnál (amely tehát 22 skálából áll).

• n = 22

• 22! = 1124000727777607680000

• k = 1

• 1! = 1

22! / (1! x (22-1))! = 1124000727777607680000 / (1 x 51090942171709440000) = 22

• 2 hangból álló skálakatalógus:

• 0 db - elméleti kiindulópont

• 3 hangból álló skálakatalógus:

• 22! / (1! x (22-1))! = 1124000727777607680000 / (1 x 51090942171709440000) = 22 db

• 4 hangból álló skálakatalógus:

• 22! / (2! x (22-2))! = 1124000727777607680000 / (2 x 2432902008176640000) = 231 db

• 5 hangból álló skálakatalógus:

• 22! / (3! x (22-3))! = 1124000727777607680000 / (6 x 121645100408832000) = 1540 db

• 6 hangból álló skálakatalógus:

• 22! / (4! x (22-4))! = 1124000727777607680000 / (24 x 6402373705728000) = 7315 db

• 7 hangból álló skálakatalógus:

• 22! / (5! x (22-5))! = 1124000727777607680000 / (120 x 355687428096000) = 26334 db

• 8 hangból álló skálakatalógus:

• 22! / (6! x (22-6))! = 1124000727777607680000 / (720 x 20922789888000) = 74613 db

• 9 hangból álló skálakatalógus:

• 22! / (7! x (22-7))! = 1124000727777607680000 / (5040 x 1307674368000) = 170544 db

• 10 hangból álló skálakatalógus:

• 22! / (8! x (22-8))! = 1124000727777607680000 / (40320 x 87178291200) = 319770 db

• 11 hangból álló skálakatalógus:

• 22! / (9! x (22-9))! = 1124000727777607680000 / (362880 x 6227020800) = 497420 db

• 12 hangból álló skálakatalógus:

• 22! / (10! x (22-10))! = 1124000727777607680000 / (3628800 x 479001600) = 646646 db

• 13 hangból álló skálakatalógus:

• 22! / (11! x (22-11))! = 1124000727777607680000 / (39916800 x 39916800) = 705432 db

• 14 hangból álló skálakatalógus:

• 22! / (12! x (22-12))! = 1124000727777607680000 / (479001600 x 3628800) = 646646 db

• 15 hangból álló skálakatalógus:

• 22! / (13! x (22-13))! = 1124000727777607680000 / (6227020800 x 3628800) = 497420 db

• 16 hangból álló skálakatalógus:

• 22! / (14! x (22-14))! = 1124000727777607680000 / (87178291200 x 40320) = 319770 db

• 17 hangból álló skálakatalógus:

• 22! / (15! x (22-15))! = 1124000727777607680000 / (1307674368000 x 5040) = 170544 db

• 18 hangból álló skálakatalógus:

• 22! / (16! x (22-16))! = 1124000727777607680000 / (20922789888000 x 720) = 74613 db

• 19 hangból álló skálakatalógus:

• 22! / (17! x (22-17))! = 1124000727777607680000 / (355687428096000 x 120) = 26334 db

• 20 hangból álló skálakatalógus:

• 22! / (18! x (22-18))! = 1124000727777607680000 / (6402373705728000 x 24) = 7315 db

• 21 hangból álló skálakatalógus:

• 22! / (19! x (22-19))! = 1124000727777607680000 / (121645100408832000 x 6) = 1540 db

• 22 hangból álló skálakatalógus:

• 22! / (20! x (22-20))! = 1124000727777607680000 / (2432902008176640000 x 2) = 231 db

• 23 hangból álló skálakatalógus:

• 22! / (21! x (22-21))! = 1124000727777607680000 / (51090942171709440000 x 1) = 22 db

• 24 hangból álló skálakatalógus:

• 1 db - elméleti záróskála

• Mire jó mindez?