Arpeggio–skálák
Az arpeggio-, és alapskálák összekapcsolása XI.
Egy hármashangzat lejátszásának matematikai variációi
Ebben a fejezetben megnézzük, hogy 1 db 3 hangból álló C-dúr hármashangzatot (C-E-G) elméletileg hányféleképpen tudunk lejátszani 6 húros, standard hangolású gitáron. Rögtön közöljük is a végeredményt: elméletileg 36-féleképpen és ez általánosítható is, azaz érvényes a rendszerből származtatott összes hármashangzatra. Tehát a végeredmény például egy D-moll hármashangzat esetében (D-F-A) elméletileg szintén ugyanaz, 36 db. Az eredmény azonban csak elméleti, közelítő több okból is:
-
a probléma bonyolultsága miatt nem foglalkozunk azon lehetőséggel, hogy hármashangzatok lejátszásánál 1 húrra 2 hang is kerülhet, következésképpen premisszánk, azaz kiindulópontunk az 1 húron 1 hang,
-
számításba kéne vennünk a standard hangolású gitár speciális körülményeit is, nevezetesen: mely hármashangzatok "csonkolódnak", vágódnak le a standard alaphangolás miatt (voltaképpen a tükörkép bal oldalán lévő, üres húros hangokról van szó, ezek felülről lefelé haladva: E-A-D-G-H-E):
A 2. lépést sem tesszük meg, mert vele lényegében a szólótechnikában nem jutnánk előrébb, gyakorlati haszna abszolút nincs. Első pillantásra az elméleti megközelítésnek sincs, de majd később látjuk, hogy mégis lehet.
Kezdjük kis, tudjuk, hogy nagyon népszerű matematikával!
A C-dúr hármashangzat láthatóan 3 elemből áll (C-E-G) és ezeket 6 húron
szeretnénk variálgatni. Feltételek megadása nélkül a kombinatorika
nevű borzadály ismétléses variáció nevű szörnyedvényébe futunk
bele, amely 3 elem variálását jelenti olyan módon, hogy megengedett az
elemek ismétlődése. Ekkor a végeredmény 729 db variáció lesz, mert 36 =
729. A teljes, rendkívül olvasmányos lista
külön
fejezetben tanulmányozható, kezdő és záró variációi így néznek ki:
1.: CCCCCC
2.: CCCCCE
3.: CCCCCG
4.: CCCCEC
5.: CCCCEE
...
725.: GGGGEE
726.: GGGGEG
727.: GGGGGC
728.: GGGGGE
729.: GGGGGG
A világon egyedülálló módon a Pénzes-féle Gitáriskola programozási
kódolást (algoritmusokat) is képes alkalmazni bizonyos zeneelméleti
problémák megoldására, szemléltetésére. Az alábbi futtatható Java-kód a
fenti eredményeket fogja produkálni (a jelen honlapon programozástechnikai
magyarázatokra nem térünk ki):
public class Main {
public static void main(String[] args) {
char[] tomb = new char[]{'C', 'E', 'G'};
int count = 1;
for (int i = 0; i <= 2; i++){
for (int j = 0; j <= 2; j++){
for (int k =
0; k <= 2; k++){
for (int l = 0; l <= 2; l++){
for (int m = 0; m <= 2; m++){
for (int n = 0; n <= 2; n++) {
System.out.print(count + ".: " + tomb[i] + tomb[j] + tomb[k] +
tomb[l] + tomb[m] + tomb[n] + " ");
System.out.println();
count++;
}
}
}
}
}
}
}
}
Végeredmény:
1.:
CCCCCC
2.: CCCCCE
3.: CCCCCG
4.: CCCCEC
5.: CCCCEE
...
725.: GGGGEE
726.: GGGGEG
727.: GGGGGC
728.: GGGGGE
729.: GGGGGG
Mit jelent például az 1. variáció: CCCCCC? 6 db C hangot a gitár 6
különböző húrján, amelyek egymás alá rendezve így néznek ki:
C
C
C
C
C
C
No, ezzel nem mondtunk nagyot és jutottunk előrébb, ráadásul ez bizony nem is hármashangzat!
Valóban, ám vegyük észre, hogy a 729 db teljes variációs készlet potenciálisan tartalmazza az ÖSSZES lehetséges lejátszási mintát, tehát a teljes halmazból kiemelve az egyik speciális részhalmazt keressük.
Programozásban jártasak
ilyenkor már bólintanak: a teljes lista nem elég, hanem bizonyos
feltételek szerint abból szűrnünk kell.
Zeneelméletileg nézve a C-dúr hármashangzat (C-E-G) abban az esetben is
hármashangzat marad, ha hangjait különböző sorrendben szólaltatjuk meg.
Nézzük meg ennek teljes variációs mennyiségét:
-
CEG
-
CGE
-
ECG
-
EGC
-
GCE
-
GEC
A végeredmény 6, mert 3! = 6. Ez valójában megint kombinatorikai kérdés,
annak ismétlés nélküli permutációs változata, ahol 3 elemre 6 lehetséges
permutáció létezik úgy, hogy nem megengedett az elemek ismétlődése.
Kétkedők számára jelzem, hogy ezen fejtegetés már valóban zeneelméleti
megközelítés, elég csak 1 gyors pillantást vetnünk a gitáron lecsapódó
pacsirtamezei C-dúr akkordra, ahol láthatjuk, hogy a legalsó hang nem C
alaphang (root - gyökérhang), hanem E (valójában úgynevezett
1. fordítás)...
...az akkordban szereplő hangok sorrendje pedig fizikailag fentről lefelé
haladva a következő:
E
C
E
G
C
E
Az E hang tehát az akkordban 3-szor is előfordul. Csak jelzem, hogy itt
egy klasszikus zenei fül már elkezdene kényeskedni.
Ilyesféle kényszermegoldások
a gitár esetében annak szerkezeti, architekturális felépítése miatt
szükségesek. Lényegében emiatt az akkordok sokszor nem foghatók le
"tiszta" zeneelméleti felépítésükben úgy, amint például
zongoránál.
Bár programozástechnikailag megvalósítható, de mi nem fogjuk követni ezt
az alapelvet, ugyanis itt a feltételek a következők lennének:
-
a variációnak mind a 3 hangot tartalmaznia kell,
-
1 hang 3-szoros ismétlődése csak 1-szer megengedett.
Ehelyett kissé szigorúbb, de a zeneelmélethez közelebb álló, így akkordügyileg lényegében jobban hangzó feltételeket szabunk:
-
a variációnak mind a 3 hangot tartalmaznia kell,
-
1 hang csak 2-szer szerepelhet a sorozatban.
Ehhez jó kiindulópont az előbb ismertetett variációs végeredmény:
-
CEG
-
CGE
-
ECG
-
EGC
-
GCE
-
GEC
Vegyük észre, hogy ez valójában egy C-dúr hármashangzat teljes,
hangismétlődés nélküli variációs listája 3 húros gitár esetében. Ezt kell
kiterjesztünk 6 húros gitárra, tehát a sorozatot (vízszintesen) meg kell
dupláznunk:
1.: CEGCEG
2.: CEGCGE
3.: CEGECG
4.: CEGEGC
5.: CEGGCE
6.: CEGGEC
7.: CGECEG
8.: CGECGE
9.: CGEECG
10.: CGEEGC
11.: CGEGCE
12.: CGEGEC
A teljes lista pedig:
1.: CEGCEG
2.: CEGCGE
3.: CEGECG
4.: CEGEGC
5.: CEGGCE
6.: CEGGEC
7.: CGECEG
8.: CGECGE
9.: CGEECG
10.: CGEEGC
11.: CGEGCE
12.: CGEGEC
13.: ECGCEG
14.: ECGCGE
15.: ECGECG
16.: ECGEGC
17.: ECGGCE
18.: ECGGEC
19.: EGCCEG
20.: EGCCGE
21.: EGCECG
22.: EGCEGC
23.: EGCGCE
24.: EGCGEC
25.: GCECEG
26.: GCECGE
27.: GCEECG
28.: GCEEGC
29.: GCEGCE
30.: GCEGEC
31.: GECCEG
32.: GECCGE
33.: GECECG
34.: GECEGC
35.: GECGCE
36.: GECGEC
1 hangra így lesz 12 db variáció, 3 hangra pedig összesen 36 db.
Emeljük ki az egyik variációt (GCEGCE) és nézzük meg, hogy miként csapódik
ez le a Pénzes-féle gitártükörképen:
Az algoritmikus megközelítés
tehát nem a valóságtól (mi esetünkben a zeneelmélettől) elrugaszkodott
képződmény, mert sok esetben konkrétan is működőképes, bár az is igaz,
hogy sokszor nem. Az azonban bizonyos, hogy aki ezt ilyen módon tudja
kezelni, az már képes magát a rendszert is teljes egészében átlátni.
Nézzük meg a feltételes verzió futtatható Java-kódját is:
public class
Main {
public static void main(String[] args) {
char[] tomb = new char[]{'C', 'E', 'G'};
StringBuffer depotSB = new StringBuffer();
boolean OK = false;
int count = 1;
for (int i = 0; i <= 2; i++){
for (int j = 0; j <= 2; j++){
for (int k =
0; k <= 2; k++){
for (int l = 0; l <= 2; l++){
for (int m = 0; m <= 2; m++){
for (int n = 0; n <= 2; n++) {
depotSB.delete(0, 5);
OK = false;
depotSB.append(tomb[i]);
depotSB.append(tomb[j]);
depotSB.append(tomb[k]);
depotSB.append(tomb[l]);
depotSB.append(tomb[m]);
depotSB.append(tomb[n]);
OK = checkString(depotSB);
if (OK) {
System.out.print(count + ".: " + depotSB);
System.out.println();
depotSB.delete(0, 5);
count++;
OK = false;
}
depotSB.delete(0, 5);
}
}
}
}
}
}
}
static boolean checkString(StringBuffer depotSB){
boolean OKall = false;
boolean OKpart1 = false;
boolean OKpart2 = false;
String part1 = "";
String part2 = "";
part1 = depotSB.substring(0, 3);
part2 = depotSB.substring(3, 6);
if(part1.equals("CEG")
|| part1.equals("CGE")
|| part1.equals("ECG")
|| part1.equals("EGC")
|| part1.equals("GCE")
|| part1.equals("GEC")){
OKpart1 = true;
}
if(part2.equals("CEG")
|| part2.equals("CGE")
|| part2.equals("ECG")
|| part2.equals("EGC")
|| part2.equals("GCE")
|| part2.equals("GEC")){
OKpart2 = true;
}
if(OKpart1 == true && OKpart2 == true){
OKall = true;
return OKall;
}
return OKall;
}
}
Végeredmény:
1.: CEGCEG
2.: CEGCGE
3.: CEGECG
4.: CEGEGC
5.: CEGGCE
6.: CEGGEC
7.: CGECEG
8.: CGECGE
9.: CGEECG
10.: CGEEGC
11.: CGEGCE
12.: CGEGEC
13.: ECGCEG
14.: ECGCGE
15.: ECGECG
16.: ECGEGC
17.: ECGGCE
18.: ECGGEC
19.: EGCCEG
20.: EGCCGE
21.: EGCECG
22.: EGCEGC
23.: EGCGCE
24.: EGCGEC
25.: GCECEG
26.: GCECGE
27.: GCEECG
28.: GCEEGC
29.: GCEGCE
30.: GCEGEC
31.: GECCEG
32.: GECCGE
33.: GECECG
34.: GECEGC
35.: GECGCE
36.: GECGEC
További érdekesség, hogy a kíváncsiságképpen kódalkotáskor felkerestem a
chatGPT nevű mesterséges
intelligenciát is (AI). A teljes, ismétléses variációs kód problémáját
azonnal megértette és küldte annak
rekurzív implementációját:
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
List<String> combinations = new ArrayList<>();
generateCombinations("", 6, combinations);
// Print the combinations
for (String combination : combinations) {
System.out.println(combination);
}
}
public static void generateCombinations(String prefix, int remaining,
List<String> combinations) {
if (remaining == 0) {
combinations.add(prefix);
return;
}
generateCombinations(prefix + "C", remaining - 1,
combinations);
generateCombinations(prefix + "E", remaining - 1,
combinations);
generateCombinations(prefix + "G", remaining - 1,
combinations);
}
}
Végeredmény:
CCCCCC
CCCCCE
CCCCCG
CCCCEC
CCCCEE
...
GGGGEE
GGGGEG
GGGGGC
GGGGGE
GGGGGG
Azonban a feltételmegadást már nem értette meg, bár többféle (angol
nyelvű) változattal próbálkoztam. (A feltételmegadás szövegét
megismételte, de a hozzá csatolt kód rossz volt. Pontosan mint a rossz
tanulók dolgozataiban.) Hát itt tart ma az AI. Szerintem még nem kéne
beengedni az ajtón...
Pénzes László