Az alapskálák
Testvér-alapskálák VI.
Pénzes Zsolt-féle bizonyítás
Pénzes Zsolt internetes olvasómat sajnos nem tisztelhetem rokonomként, de azért olyan jó látni, hogy a Pénzesek milyen rettentő okos emberek! ☺
Zsolt a testvér-alapskálák bizonyításának egy új logikai utat választott, amelyet még ráadásként egy "apró" Java-programmal is alátámasztott. Így tehát -amint azt a Pénzes-féle Gitáriskolában már folyamatosan megszokhattuk-, a permanens újdonság itt és most egy színvonalas bizonyításban és egy Java-programkódban jelentkezik. Eddig senki sem hitte volna, hogy skálatan és programozás ennyire összehozható, ám Zsolt munkája a legújabb bizonyíték erre.
Zsolt, köszönjük alább olvasható, értékes hozzászólásodat!
Az oldal olvasása, elemzése és megértése közben eljutottam a Cséffai Norbert által létrehozott segédmódszerhez. Megértéséhez egy egyszerű ábrát rajzoltam magamnak, ami számomra és remélem mások számára is egy olyan aspektusba emeli ezt az elméleti megközelítést, ahogy azt nálam is tette. Végül is nem találtam fel semmit, mindössze egy modellezéssel olyan dimenzióba raktam az eddigieket, ahova eddig még a Pénzes-féle Gitáriskola tanulói nem tették. Szóval adott a következő Cséffai Norbert-féle elnevezés:
Rögtön feltűnt nekem is, hogy az egyik adódik a másokból, azaz az 1. ujjrend utolsó 2 hangja a 2. és 3. ujjrend első 2 hangja. Innentől könnyedén látható a még általam nem leírt összefüggések, miszerint: a 2. ujjrendből eljuthatunk a 3-ba és a 3. ujjrendből az elsőbe. Vegyük észre, hogy az 2. ujjrend utolsó 2 hangja megegyezik saját maga első 2 hangjával, azaz a 2. ujjrendből eljuthatunk saját magába. Érdemes még elgondolkodni azon is, hogy vajon az 1. és 3. ujjrend rendelkezik-e ezen tulajdonságokkal, avagy sem. Válasz: nem, de ezt mindenki szabad szemmel is jól látja, ám az utólagos magyarázkodások végett azt hiszem érdemes leírni. Most már megvan, hogy melyik ujjrendből melyikbe juthatunk el:
Innentől fogva sokkal egyszerűbb megérteni mindezt egy egyszerű ábra alapján, ahol az egyes körök a Cséffai-féle ujjrendi elnevezéseket, míg a nyilak a köztük való mozgási szabályrendszert reprezentálják. Gondolhatnánk, hogy kész is vagyunk, megvannak az állapotok (ujjrend) és megtaláltuk azon egyirányú utcáinkat (az állapotok közötti szabályrendszert), amelyekkel építhetünk magunknak bármilyen egyhúros skálát és azt átültetvén 6 húros verzióba máris a skálaépítők büszke nemzetségéhez tartozunk. Sajnos nem eszik olyan forrón azt a skálát. Hogyha olyan 1 húros testvér-, vagy alapskálát szeretnénk építeni, ami 7 fokú és/vagy diatonikus, akkor még figyelembe kell venni Szabó László (az egyik bizonyítási eljárás szerzője) azon feltételeit is, amiket már részben én is leírtam, mert logikusan következnek a Cséffai-féle ujjrendi összekapcsolásokból (2. 3. 4. feltétel), sőt azt is, amely még nem derült ki a Cséffai-féle ujjrendösszekapcsolásból (1. feltétel). Miszerint 1 oktáv 12 félhangból áll. Az eddigi rendszerből nem számítható ki, hogy az előző kép segítségével összeállított ciklikus skáláink, amelyek 6 állapotból épülnek fel, 1 oktávon helyezkednek-e el (pl.: 3-1-2-3-1-2).
Kérdés, miként tudjuk ellenőrizni azt, hogy egy ilyen 6 állapotú sorozat tényleg 1 oktávot ölel-e fel, mint ahogy Szabó László 1. feltételében is szerepel?
Ezen rendszer megengedi, hogy bármelyik állapotból kiinduljuk és a megadott szabályok alapján közlekedjünk a rendszeren belül. Minden egyes kiindulóponthoz egy súlyozást kell hozzárendelnünk és egyet az adott szabályokhoz (tranzícióhoz). A kezdőállapot súlyozása legyen az a szám, ahány félhangot ölel fel az adott állapot, így a Cséffai-féle elnevezéseket én egy súlyozással is elláttam.
A szabályok súlyozása a következő szerint alakult: megvizsgálva, hogy „A" állapotból átlépve a „B" állapotba a „B" állapot utolsó 2 hangja hány félhangot ölel fel. Ezen ujjrendeket megnézve rögtön kiderül, hogy ez a súlyozás 1 vagy 2 lesz.
Innentől fogva a következő kalkulációt kell elvégezni az egyes 6 állapotból álló skáláinkon: véve a kezdőállapotot súlyozzuk azt (3 vagy 4), utána megnézzük, hogy a rákövetkező állapotba való eljutási szabály milyen súlyozást kapott és azt az értéket hozzáadjuk a kezdőállapot súlyozásához és megjegyezzük a kapott értéket. Ezt elvégezzük egészen az utolsóállapotig. Valahogy így:
3-1-2-3-1-2
Kezdőállapot értéke 3, ezt egyszer vesszük, utána már csak az átmenetek értékeit adjuk hozzá ehhez a számhoz.
3+2+2+1+2+2
A 3mas kezdőértékhez hozzáadjuk a 3-mas állapotból az 1-esbe való átjutás szabályának a súlyát, azaz 2-t és így tovább. A végeredménynek 12-vel kell megegyeznie.
-
3+2+2+1+2+2 = 12
5+2+1+2+2 = 12
7+1+2+2 = 12
8+2+2 = 12
10+2 = 12
12 = 12
Hmmm… ez eddig egészen ígéretesen hangzik. Már mindjárt neki is esnék egy olyan rekurzív függvény megírásának, ami megkeresi az összes olyan állapotokból felépült 6 elemű számsort, amelynek a súlyozásokból származó összege 12. De várjunk csak egy kicsit, valamit elfelejtettünk, de vajon mi is az? Ha csak azt vizsgáljuk, hogy 12 legyen az összege a hat számnak az általam felállított számolási módszerrel, akkor előfordult egy 15. eset is (1,2,2,2,2,3) a rekurzív algoritmus fejlesztése közben.
Ez első ránézésre jó is lenne, de ha jobban megnézzük, akkor 2 félhang egymás mellé kerül, ha oktávos ismétlődésben nézzük meg. Oktávonként ismétlődnie kell ezen számsorozatoknak, így nem az első 6, hanem 7 állapotot kell vizsgálni, hogy a soron következő 7-el megegyezik-e:
1-2-2-2-3-1-3-1-2-2-2-3-1-3-1-2-2-2-3-1-3...
Mindezt bebizonyítandó megírtam azt az algoritmust, ami összegyűjti azon 14 skálát, amiről már nemegyszer szó volt ebben a fejezetben. Ha érdekel valakit az algoritmus, akkor itt megnézheti. Ez mind azért történt meg, mert érdekeltek a skálák matematikai háttere. Még a skálák megtanulása előtt állok, de az biztos, hogy így már sokkal nagyobb lendülettel fogom magam belevetni a tanulásba.
Pénzes László