Az alapskálák
Testvér-alapskálák V.
Nagyon szépen köszönöm Osán Dániel és Horváth Júlia zenei-matematikai kérdéseit, megjegyzéseit!
A diatonikus és hétfokú skála meghatározásának anomáliájára például ők hívták fel figyelmemet, amelyet A diatonikus skála meghatározása című fejezetben pontosítottam. A két lelkes és nagyon okos fiatal kombinatorikai vizsgálódásokkal is meglepett, amelyek segítségével 2 képlet formájában, ebből következően kissé egyszerűbben bizonyították a Szabó-féle bizonyítási eljárás helyességét. Lássuk tehát érvelésüket!
A fent említett feltételek szerintünk a következőt jelentik. Olyan skálákat kerestél, amelyekben:
-
a hangközök legyenek ugyanazok, mint a dúr skálában és a hozzá tartozó skálafokokban. (Ez 2 db fél-, és 5 db egészhang-kombinációt jelent.)
-
Legyenek 1 oktávra nézve periodikusak.
-
2 fél hangköz nem állhat egymás mellett.
Ennek fényében 2 levezetés.
A skála hétfokú; ez következik az 1. feltételből. 7 hangból áll és ezeket a kromatikus 12 félhangból álló (1 oktávos) skálán bárhol elhelyezhetjük. Továbbmegyünk, mivel egy skála esetében nemcsak a hangok elhelyezkedése számít a kromatikus skálán, hanem az egymáshoz viszonyított elhelyezkedésük is. Ezért az első hangot lefixálhatjuk és ehhez viszonyítjuk a többit. Itt csak a hangközök nagyságát írjuk le (végtelenített sor formájában):
...1 fél - 1 fél - 1 egész - 1 egész - 1 egész - 1 egész - 1 egész...
Az 1. lehetőség ismétléses permutáció (a 3. feltétel kihagyásával):
A 2. lehetőség kombináció.
Mivel egész hangközből sok van, ezért elég csak azt nézni, hogy a felek hol helyezkednek el, a többi helyet az egész hangközök úgyis kitöltik. Tehát 7 helyre kell 2 elemet rakni és ekkor 21 skálát kapnánk:
Természetesen 3. feltétel figyelembevételével valóban 14 skála létezik:
Pénzes László