Az alapskálák
Testvér-alapskálák II.
A testvér-alapskálák "felfedezése" Cséffai-módszerrel
Cséffai Norbert ötletével való találkozás előtt jóval már azon töprengtem, hogy egy diatonikus skála voltaképpen hányféle módon variálható?
Ez első látásra kombinatorikai képletnek tűnt, ehhez azonban az említett fél-, és egészhangokat számokká kell alakítani. Ezt először úgy akartam megtenni, hogy a diatonikus skálát pentachord-tetrachord (ötös, illetve négyes) hangcsoportokra bontom, vagy valami hasonlóra. Ekkor említette Norbert egyik gitáróráján modellező elképzelését, amelyre pillantva azonnal rájöttem a megoldásra: a számtani leképezés a Cséffai-módszerrel adott és működik, mert lefedi a zenei, ebben az esetben a skálaépítési elképzeléseket (következésképpen számcsoportokból konkrét skálaszerkezetek visszakövetkeztethetők).
Matematikailag nézve tehát adva van 3 szimbólum: 1 - 2 - 3, amelyet hatos csoportokba kell elrendeznünk. Például:
-
1-1-1-1-1-1
-
1-1-1-1-1-2
-
1-1-1-1-2-2
-
stb.
Felismertük-e az első, csakis egyeseket tartalmazó számsort?
Ez az egyik matematikai skála, neve 1-2. Ciklusa 1 oktávos és valóban: ez egy diatonikus skála, amely alaphangtól oktávig tart. A módszer tehát eddig helyesnek tűnt. Valójában nem az. Már akkor gyanút fogtam, amikor a kombinatorikai 36 képlet alapján 729 lett a végeredmény, ennyi diatonikus skála ugyanis nem következhet a rendszerből. Szabó László volt tanítványom hozta megoldást, amely felfedezésekkel később én is egyetértettem: a diatonikus skálaépítkezésnek jóval több kiinduló feltétele van, mint előszörre gondoltuk:
-
1. feltétel: a skála alaphangtól oktávig tarthat. Ezért nem jó például a 3-3-3-3-3-3 skála, mert 1 egészhanggal túllóg az oktávon. (Ám ez a számsor azért sem helyes, mert a 4. feltétel szerint 3 után kizárólag 1 állhat.)
-
2. feltétel: 1 után állhat 2 és 3. Ezért nem jó például a 1-1-1-1-1-1 skála, mert 1 után nem állhat újból 1.
-
3. feltétel: 2 után nem állhat 1.
-
4. feltétel: 3 után kizárólag 1 állhat.
Szabó Laci a bizonyítási eljáráskor a további feltételeket kötötte ki, (megjegyzem, némelyik következik a fenti feltételekből, de említsük meg őket a pontosítás végett):
-
5. feltétel: a skála 12 félhanglépést tartalmazhat.
-
6. feltétel: az 1. és 8. tercnek ugyanolyannak kell lennie (ciklikusság).
Még mielőtt bárki is kételkedni kezdene vizsgálatunkban, fel kell hívnom a figyelmet arra a tényre, hogy ez a bonyolult feltételrendszer még mindig csak a régi 7 alapskála, azaz a diatonikus skálák tulajdonságait modellezi le!
Ebből következően, ha magunk elé vesszük az egyhúros fejezetben megállapított végtelen számsort...
3-1-2-3-1-2-2-3-1-2-3-1-2-2-3-1-2-3-1-2-2...
...akkor láthatjuk rajta, hogy az a felállított feltételrendszert nem teljesen fedi le. Én azt gyanítottam, bár matematikailag nem tudtam bizonyítani, hogy kell lennie legalább még 1 végtelen számsornak. Ez minimum 7 új alapskálát jelent. Egyébiránt ezt máshonnan is sejteni lehetett. Én személy szerint a líd-skálában láttam még további variációs lehetőséget és feltűnt a dór-skála belső szimmetriája, amely egy másik, szintén szimmetrikus skálára utalt. Valóban, az új alapskálák mindkettőt tartalmazzák! (Lásd a későbbiekben a Cséffai-, valamint a Gasztonyi-skálánál.)
Pénzes László