Az alapskálák
Testvér-alapskálák IV.
Antal Gergely kaposvári fizikus egy másik megközelítést alkalmaz a testvér-alapskálák bizonyítására. Ez a logikai menet egyébként hasonló Osán Dániel és Horváth Júlia által felhasználthoz. Nagyon szépen köszönöm az értékes hozzászólást!
"...Lelkesen neki is álltam az Ön honlapja alapján az „építkezésnek”, még az út elején vagyok (alapskálák), de lelkesedésem töretlen… Az Ön alapossága, precizitása, széles látóköre és nem utolsósorban finom humora egyaránt közel áll hozzám, ami szintúgy táplálja bennem az eltökéltséget... Hogy lelkesedésemet igazoljam, én is hoztam valamit a tarsolyomban, éppen tegnap jutottam el „Az alapskálák III.” című fejezet azon részéhez, ahol Ön hivatkozik egy tanítványa, Szabó Laci bonyolult bizonyítási eljárására, amihez rögvest találtam egy jóval egyszerűbb bizonyítást!
Tehát adott 1 oktáv a maga 12 félhangnyi terjedelmével, amire ki akarunk osztani 7 hangot (a 8. ugyanaz, mint az első, csak 1 oktávval feljebb), úgy hogy közöttük csak kis-, vagy nagyszekundok lehetnek (voltaképpen a probléma Cséffai-módszeres megfogalmazása ez esetben csak bonyolítja a helyzetet). Nem igényel komolyabb fejtörést azt belátnunk, hogy ezt pontosan 2 kisszekunddal és 5 nagyszekunddal tudjuk megtenni (ha 7 nagyszekundunk lenne, az már 14 félhangnyi terjedelem, hogy 2-vel kevesebb legyen, pontosan kettőt kell kisszekundra módosítanunk). Innentől a problémát közelítsük meg kombinatorikai úton: hányféleképpen lehet „leültetni egy asztalhoz 2 kisszekundot és 5 nagyszekundot?”
Sőt: a végtelen ismétlődést (végtelen számsor), illetve az alaphang tetszőlegességét úgy tudjuk reprezentálni, hogy egy 7 fős KÖR alakú asztalnál akarjuk őket leültetni...
...ahol közömbös, hogy ki pontosan melyik széken ül, csak az egymáshoz viszonyított helyzet a lényeg (nem úgy, mint Agatha Christie "Gyöngyöző cián" című művében, ahol az abszolút pozíciónak is jelentősége volt, mármint „megmérgeződési szempontból” ☺). Erre már nagyon egyszerű a kombinatorikai válasz: „7 alatt a 2”, vagyis 21, amit még a kezdőhang-tetszőlegesség miatt 7-tel osztanunk kell, azaz a végeredmény: 3.
Mi is ez a 3? Nyilván az egyik a standard (dúr-moll) alapskála, a másik az Ön menyasszonyáról és tanítványairól elnevezett csoport, míg a harmadik az, ahol a 2 kisszekund egymás mellett ül, no ezt kizártuk a lehetőségek közül, tehát megkaptuk a végeredményt: 2 alapvetően különböző alapskála (számsor) van!
Egyébként a kör alakú asztal példa plasztikusan is adja a megoldást: hányféleképpen is ülhet egymáshoz viszonyítva 2 kisszekund? Vagy egymás mellett ülnek (ezt zártuk ki), vagy ül közöttük 1 nagyszekund (ez az egyik új testvér-alapskála), vagy 2 nagyszekund távolságra ülnek (ez a „hagyományos” alapskála).
Felmerülhet a kérdés, hogy mi van akkor, ha 3 nagyszekund ül közöttük? Persze, az egyik irányba nézve. A másik irányba nézve viszont csak 2, azaz ez továbbra is a standard alapskála, csak más alaphangról…
Pénzes László