HÍREK
LEGUTÓBBI MÓDOSÍTÁSOK TÁMOGASD A SULIT! ZENÉS
BEMUTATKOZÁS ELKEZDEM
MOST! OSIRE
ÁTTÖRÉS A TECHNIKÁBAN

Az alapskálák VIIb.

A C-dúr skála bővítéseinek matematikája

 

Számítások

A bővítés kiterjesztése más skálákra

 

Számítások

 

Ha a teljesség igényével lépünk fel, akkor a bővítés egy speciális esetével kell kezdenünk: ekkor még nem teszünk a skálába idegen hangokat, csupán a meglévőket módosítjuk. Itt még nem tudunk behozni matematikát, mert ez a fajta bővítés erősen skálafüggő, azaz a premisszák (azok a kiindulópontok, amelyekből levonhatjuk sokszor matematikai következtetéseinket) nem egyértelműek.

 

Egy C-dúr skálát ötféleképpen tudunk saját hangjaiban bővíteni, hiszen 5 olyan további hang van (ez az 5 db fekete billentyű), amire egyáltalán bővíthetünk. (Itt kell megjegyzem, hogy most természetesen elhanyagolom az enharmonikus egyezésekből adódó bővítési lehetőséget.)

 

 

C-Cisz-D-Disz-E-F-Fisz-G-Gisz-A-Aisz-H-(C)

 

A fentiekből levezethető bővítések a következők:

• C-D-E-F-G-A-H-(C) - alap

• Cisz-D-E-F-G-A-H-Cisz - ez a skálaszerkezet már önmagában abszurdum, hiszen az alaphangot, a C-t módosítottuk, ezáltal a legfontosabb kijelentés, a "C-dúr" állítás veszett oda. Épp ezért ez csak egy "nagyon elméleti" skála.

• C-Disz-E-F-G-A-H-C

• C-D-E-Fisz-G-A-H-C

• C-D-E-F-Gisz-A-H-C

• C-D-E-F-G-Aisz-H-C

Láthatjuk, hogy nincs értelme az E hangot F-re és a H hangot C-re módosítani, mert ezekben az esetekben az eredetileg 7 fokú skála 6 fokúvá szűkülne. Úgy vélem, hogy a vizsgálódás szempontjából a skála hétfokúságához ragaszkodnunk kell. A felvázolt fenti 5 db skála a Pénzes-féle tükörképekben:

 

Cisz-D-E-F-G-A-H-Cisz

 

C-Disz-E-F-G-A-H-C

 

C-D-E-Fisz-G-A-H-C

 

C-D-E-F-Gisz-A-H-C

 

C-D-E-F-G-Aisz-H-C

 

A fenti gondolatmenet tehát 5 db saját hanggal operáló skálát eredményezett. Folytassuk tovább a bővítést, most már idegen, a skálához eredetileg nem tartozó hangokkal!

 

A temperált hangrendszerünkben 12 félhang van. Mivel a C-dúr skála ebből 7 hangot használ fel (azaz hétfokú), ezért összesen 5 hanggal tudjuk bővíteni. Már említett módon az 5 hang mindegyike fekete billentyű:

 

 

A felmerült problémának matematikai megközelítése a következő: hányféleképpen tudunk betenni egytől 5 golyót 5 lyukba? Már megszokhattuk, ez tiszta kombinatorika, annak ismétlés nélküli kombinációja. Általános képlete:

 

 

Nyilvánvalóan különbséget kell tennünk a felhasznált golyók mennyisége között. Így jön létre 5 csoport:

• 1 golyó esetén 8 fokú a skála,

• 2 golyó esetén 9 fokú a skála,

• 3 golyó esetén 10 fokú a skála,

• 4 golyó esetén 11 fokú a skála,

• 5 golyó esetén 12 fokú a skála.

A kombinációs lehetőségeket könnyű felvázolnunk két számmal:

• 0 - nincs benne a lyukban,

• 1 - benne van a lyukban.

1 golyó esetén 8 fokú a skála:

1. 10000

2. 01000

3. 00100

4. 00010

5. 00001

2 golyó esetén 9 fokú a skála:

1. 11000

2. 10100

3. 10010

4. 10001

5. 01100

6. 01010

7. 01001

8. 00110

9. 00101

10. 00011

3 golyó esetén 10 fokú a skála:

1. 11100

2. 11010

3. 11001

4. 10110

5. 10101

6. 10011

7. 01110

8. 01101

9. 01011

10. 00111

4 golyó esetén 11 fokú a skála:

1. 11110

2. 11101

3. 11011

4. 10111

5. 01111

5 golyó esetén 12 fokú a skála:

1. 11111

Az utolsó, 5 golyós kombináció már felismerhetően egy kromatikus skála, amely tehát csakis félhanglépéseket fog tartalmazni. Ezzel együtt egy (valójában bármilyen) hétfokú skála idegen hangokkal történő, összes kombinációs lehetősége:

 

5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31

 

Ezt a 31 darab skálát vázoljuk fel most egyhúros szerkezetben, C-dúr esetében.

 

1 golyó esetén 8 fokú a skála

10000

 

01000

 

00100

 

00010

 

00001

 

2 golyó esetén 9 fokú a skála

11000

 

10100

 

10010

 

10001

 

01100

 

01010

 

01001

 

00110

 

00101

 

00011

 

3 golyó esetén 10 fokú a skála

11100

 

11010

 

11001

 

10110

 

10101

 

10011

 

01110

 

01101

 

01011

 

00111

 

4 golyó esetén 11 fokú a skála:

11110

 

11101

 

11011

 

10111

 

01111

 

5 golyó esetén 12 fokú a skála

11111

 

Ha a fenti részeredményeket összeadjuk, akkor a következő végeredményre juthatunk. Egy C-dúr skála (de valójában bármilyen) hétfokú skála összes kombinációs lehetősége:

 

5 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 36

 

Ugyanakkor azt is észrevehetjük, hogy minél több idegen hangot használunk fel, annál abszurdabb lesz a skálaszerkezet. Szakmai véleményem szerint ezért zeneileg csakis a 8 és 9 fokú skálákkal-skálákig érdemes kísérletezni.

 

A bővítés kiterjesztése más skálákra

 

Mivel a C-dúr skálához további 7 alapskála tartozik...

 

 

...ezért a bővítést könnyen kiterjeszthetjük rájuk is. Mivel azok is hétfokúak, a fenti végeredmény nyilvánvalóan rájuk is érvényes: skálánként 31 db további, bővített skálát kapunk. Ez a 7 alapskála esetében összesen 7 x 36 = 252 db bővített skálát jelent.