A Gitáriskola új fogalmai és javaslatai

Javaslat az akkordok újszerű meghatározására II.

Alapelvek és matematika

 

Bevezetés

Az akkordkombinációk alapelvei

Matematika

Hármashangzat

Négyeshangzat

Ötöshangzat

Hatoshangzat

Heteshangzat

Összegzés

 

Bevezetés

 

Véleményem szerint a klasszikus akkordelmélet magukat a különböző hangzású akkordokat pusztán zenei hangzásuk (és abból levezethető "funkciójuk") alapján találta ki és csak később katalogizálta őket. Ha nem így történt volna, valaki már régen feltette volna az eleddig nyitott kérdést:

 

hányféle kombinációja lehet egy akkordnak?

 

A válasz teljes hiányát bizonyítja azon tény is, miszerint a manapság fellelhető akkordok száma jóval kevesebb a teljes kombinációs lehetőségnél. Ebben a fejezetben tehát ezt a kérdést fogjuk megválaszolni főként egy kis matematika segítségével, ezáltal egy szintén újszerű megoldást adva a felmerült problémának. Egyúttal külön fejezetekben -már megszokott módon a világon először-, konkrétan is felvázoljuk a matematikával levezetett akkordtömeget.

 

Attól függően, hogy az akkordok hány hangból állnak, a következő kategóriákat tudjuk felállítani:

A kombinációs mennyiség minden kategóriában különböző lesz, ezt később összesítjük is. Lássuk tehát az eszmének újfent zabolátlan futtatását!

 

Az akkordkombinációk alapelvei

 

Premisszaként nem kívánok túl sok és súlyos matematikát becsatlakoztatni, mert akkor igen elkanyarodnánk az eredeti, még mindig inkább zenei alapelvektől. Hiszen már a 3 hangból álló skálalatalógus is képes megmutatni a 12 hangos temperált hangrendszerből kihozható összes, 3 hangból álló hangkombinációt. Ennek összmennyisége 220 db, amely természetszerűleg tartalmaz minden hagyományos, zenei hármashangzatot is.

A tonális zenei alapelvekhez való ragaszkodás végett most tekintsünk el mindettől és jelöljük ki kiindulópontként a négyféle zenei hármashangzatot. Ekkor tehát nem fogunk vizsgálni egyéb, szintén 3 hangból álló hangkombinációt.

 

Az ábrázolás saját fejlesztésű eszköze egy, a C hangra, azaz voltaképpen zongora fehér billentyűs hangjaira...

 

Pénzes-féle Gitáriskola - A zongora billentyűi

 

...kihegyezett hangtáblázat lesz, amelyben szemléltetjük és leellenőrizhetjük számításaink eredményét. Az eredeti táblázat hosszú volt, ám ez lekicsinyítve olvashatatlannak bizonyult...

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Újfajta akkordelmélet

 

...ezért a 2 oktávot egymás alá helyeztem ilyen formán...

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Újfajta akkordelmélet

 

...ahol:

Nézzünk például egy C-dúr hármashangzatot:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Újfajta akkordelmélet

 

Az ábra színei:

  1. a hangzatok standard hangjai sötétkékkel vannak jelölve,

  2. a számolásba nem vehető hangok az alsó oktávban világoskékkel vannak jelölve. Ezek kizárólag az alsó oktávban fordulnak elő, mert matematikailag oda csoportosítottam.

  3. a számolásba belevehető hangok a felső oktávban színezetlenül (fehéren) vannak jelölve. Ehhez adódnak majd hozzá további hangok, amelyeket (fehér alapon) szintén világoskékkel jelölök.

Az ábrában az új, Pénzes-féle hangjelölés számsora (1-2-3-4...) és a klasszikus hangközelnevezések (például kvint) vannak egyesítve. A levelibéke kedvéért megemlítjük az enharmonikus mekegéseket is, de rövidített és modernebb formátumban (C# - Db = Cisz - Desz).

 

Bár a klasszikus és a jazz-akkordelmélet a hangközöket, vele az akkordmódosításokat csak 13. fokig, azaz tredecimáig tárgyalja (például C - A'), a biztonság kedvéért az ábrát 2 oktávossá bővítjük, így minden lehetséges módosítás garantáltan bele fog férni. Ettől függetlenül -ezt már látjuk előre-, gyakran kell majd újraértelmezni a számolásba valamilyen ok miatt bele nem vehető hangok számát.

 

A duplasoros elhelyezés -tehát a 2 oktáv egymás alatti elhelyezése-, a későbbiekben előnyösnek bizonyulhat, annak ellenére, hogy a belső szimmetria megtartása végett a felső oktáv C hangját duplikáltam az alsó sorban.

 

Az alábbi értekezés csakis az akkordkombinációk matematikáját foglalja össze és nem foglalkozik az akkordok zenei hangzásával, ez a Tisztelt Olvasó ítéletére lesz bízva. Ebből következően a keletkezett akkordtáblázatokban nem fogom egyesíteni a régi, zenei és a származtatott új akkordokat.

 

Matematika

 

Hármashangzat

Akkordot minimum 3 hang alkothat, még pedig csakis bizonyos skálapozíciókból. Enélkül a 3 hang pusztán hangkombináció marad. A kiindulópont tehát a 4 zenei hármashangzat, ezek C hangról indítva a következők lehetnek:

 

Dúr

Pénzes-féle Gitáriskola - Újfajta akkordelmélet

 

Moll

Pénzes-féle Gitáriskola - Újfajta akkordelmélet

 

Szűkített

Pénzes-féle Gitáriskola - Újfajta akkordelmélet

 

Bővített

Pénzes-féle Gitáriskola - Újfajta akkordelmélet

 

A fentiek értelmében ezeket nem kombináljuk tovább, egyéb beletehető hang tehát nincsen, ezért jelöltük az összes többi hangot világoskékkel.

 

Négyeshangzat

A négyeshangzatok esetében az alap a hármashangzat, amihez még +1 hangot illesztünk hozzá, ettől válik négyeshangzattá. Itt azonban egy komoly értelmezési probléma merül fel, amelyben voltaképpen a zenei és a matematikai megközelítés ütközik össze.

A zenei akkordépítkezés a további hangokat a tonális skála (az akkordépítkezés kiinduló skálája) különböző, előre meg nem határozható pontjain teszi be, még pedig pusztán hangzás alapján. Például a C4 négyeshangzat a klasszikus-, és jazz-akkordelmélet szerint azt jelenti, hogy az alap C hármashangzathoz még egy F hangot is hozzá kell ragasztanunk (itt most sötétkékkel jelölve). Láthatjuk, hogy ezt 2 helyen tudjuk megtenni: az alsó vagy a felső oktávban:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Újfajta akkordelmélet

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Újfajta akkordelmélet

 

C4 akkord azonban zeneileg kizárólag az alsó oktávban hangzik jól...

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Újfajta akkordelmélet

 

...én személy szerint a másik lehetőségre nem is tudok példával szolgálni. Az akkordépítkezés zenei megközelítése tehát a +1 hangokat (és persze a +2, +3, +4 hangokat, azaz az ötös-, hatos-, heteshangzatokat) "szétszórva" helyezi el a skálapalettán, ezt viszont nagyon nehéz matematikailag "összeszedni". A megoldás nagyon egyszerű: az alsó oktávot ki kell zárni a szórásból. Ekkor a felső oktávban lesz az összes bejátszható, vele számbavehető hang (9 db) és ezután már csak kombinatorikával kell letámadni az alap hármashangzatokat.

 

Itt, a négyeshangzatoknál még egyszerűbb dolgunk akad, hiszen láthatjuk, hogy mindegyik hármashangzatból 9 négyeshangzat vezethető le.

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Újfajta akkordelmélet

 

Ez összesen 9 x 4 = 36 négyeshangzat. Ezt binárisan is meg tudjuk fogalmazni, ekkor a 0 szám a 9 db kombinálható hangot, az 1 pedig a négyeshangzat konkrét +1 hangját jelenti:

 

100000000

010000000

001000000

000100000

000010000

000001000

000000100

000000010

000000001

 

A négyeshangzatok akkordmellékletében ezt akkordonként is felvázolom.

 

Ötöshangzat

Ötöshangzatok esetében azt nézzük meg, hogy a 9 db hangból kettőt hányféleképpen tudunk kijelölni úgy, hogy 1 hangot nem jelölhetünk ki kétszer. Ez kombinatorikai megközelítés, annak ismétlés nélküli kombinációs képlete:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Újfajta akkordelmélet

 

Ezt binárisan is felvázolhatjuk:

 

110000000
101000000
100100000
100010000
100001000
100000100
100000010
100000001
011000000
010100000
010010000
010001000
010000100
010000010
010000001
001100000
001010000
001001000
001000100
001000010
001000001
000110000
000101000
000100100
000100010
000100001
000011000
000010100
000010010
000010001
000001100
000001010
000001001
000000110
000000101
000000011

 

A teljes kombinációs mennyiség 36 db hármashangzatonként.

A ötöshangzatok akkordmellékletében ezt akkordonként is felvázolom.

 

Hatoshangzat

Hatoshangzatok esetében azt nézzük meg, hogy a 9 db hangból hármat hányféleképpen tudunk kijelölni. Ezt binárisan is felvázolhatjuk:

 

111000000
110100000
110010000
110001000
110000100
110000010
110000001
101100000
101010000
101001000
101000100
101000010
101000001
100110000
100101000
100100100
100100010
100100001
100011000
100010100
100010010
100010001
100001100
100001010
100001001
100000110
100000101
100000011
011100000
011010000
011001000
011000100
011000010
011000001
010110000
010101000
010100100
010100010
010100001
010011000
010010100
010010010
010010001
010001100
010001010
010001001
010000110
010000101
010000011
001110000
001101000
001100100
001100010
001100001
001011000
001010100
001010010
001010001
001001100
001001010
001001001
001000110
001000101
001000011
000111000
000110100
000110010
000110001
000101100
000101010
000101001
000100110
000100101
000100011
000011100
000011010
000011001
000010110
000010101
000010011
000001110
000001101
000001011
000000111

 

A teljes kombinációs mennyiség 84 db hármashangzatonként.

A hatoshangzatok akkordmellékletében ezt akkordonként is felvázolom.

 

Heteshangzat

Heteshangzatok esetében azt nézzük meg, hogy a 9 db hangból négyet hányféleképpen tudunk kijelölni. Ezt binárisan is felvázolhatjuk:

 

111100000
111010000
111001000
111000100
111000010
111000001
110110000
110101000
110100100
110100010
110100001
110011000
110010100
110010010
110010001
110001100
110001010
110001001
110000110
110000101
110000011
101110000
101101000
101100100
101100010
101100001
101011000
101010100
101010010
101010001
101001100
101001010
101001001
101000110
101000101
101000011
100111000
100110100
100110010
100110001
100101100
100101010
100101001
100100110
100100101
100100011
100011100
100011010
100011001
100010110
100010101
100010011
100001110
100001101
100001011
100000111
011110000
011101000
011100100
011100010
011100001
011011000
011010100
011010010
011010001
011001100
011001010
011001001
011000110
011000101
011000011
010111000
010110100
010110010
010110001
010101100
010101010
010101001
010100110
010100101
010100011
010011100
010011010
010011001
010010110
010010101
010010011
010001110
010001101
010001011
010000111
001111000
001110100
001110010
001110001
001101100
001101010
001101001
001100110
001100101
001100011
001011100
001011010
001011001
001010110
001010101
001010011
001001110
001001101
001001011
001000111
000111100
000111010
000111001
000110110
000110101
000110011
000101110
000101101
000101011
000100111
000011110
000011101
000011011
000010111
000001111

 

A teljes kombinációs mennyiség 126 db hármashangzatonként.

A heteshangzatok akkordmellékletében ezt akkordonként is felvázolom.

 

Összegzés

A kiszámított 1020 darabos akkordmennyiség azt jelenti, hogy a klasszikus akkordépítési szabályokat alapul véve ez a belőle kihozható maximális kombinációs mennyiség. Ez nyilvánvalóan tartalmazza a ma ismert és használt összes zenei akkordot. A Pénzes-féle akkordtan a 2 rendszer egyesítésére nem tér ki. Ha azonban más akkordépítési kiindulópontokat választunk, akkor már 3-4-5-6-7 hangból álló hangkombinációkat fogunk vizsgálni; ezeket is lemodelleztük már a 12 hangos bináris skálakatalógusban (igaz, skálakombinációk megjelenítésére, de hangcsoportok /akkordok/ modellezésére is felhasználható).