A temperált hangrendszer III.
A pithagoraszi hangrendszer
Legutóbbi módosítás: 2011.08.01.
Visszautalva a Temperált hangrendszer I. - Ádám, az első zenei zseni című fejezet kitalált figurájára, Ádámra, tehát bárki eljuthatott az egy-, vagy többhúrú, rezonálótesttel is ellátott primitív hangszerig.
A következő fontos felismerés az lehetett, hogy a fent ismertetett felharmonikus-arányok hangjai közvetlenül is megjelennek a húron, ha bizonyos helyeken pöcköket, érintőket teszünk alá (vagy fölé). Ennek ékes bizonyítéka a monochord nevű hangszer, amely nagy valószínűséggel egyidős az emberiséggel. A szó szabad fordításban egyhúrost jelent.
Az alábbi kép egy monochord, amely ősi hangszert a több évezredes zenei fejlődés ma már oktatási segédeszközzé fokozta le. A monochordnál látható, többségében fekete érintők a hangközarányok szempontjából fontos helyeken helyezkednek el. Jól látható, hogy az érintők (felső kép) szemléltetés végett át is helyezhetők...
...és mindez azt bizonyítja, hogy a mai modern gitárok is (nagyjából) ugyanezt az akusztikai elvet követik, azaz a húr alá lett építve a gitár és nem fordítva.
Melyek is ezek a fontos hangközarányok?
Mivel a húr közepén kaptuk meg az első oktávot, a legfontosabb hangköz, az oktáv pontosan a húr közepe alatt lesz. Ez a hangköz tehát a húrhosszt elfelezi (bármekkora legyen is az). Sőt, matematikailag is fel tudjuk írni ezt a viszonyt: az oktáv és alaphangja közti frekvenciaarány 1:2. Sőt, szorzószáma is van neki: 2x. Ez azt jelenti, hogy ha képzeletbeli húrunk 100 Hz volna, akkor annak oktávja 200 Hz lenne, mert 100 x 2 = 200.
A következő fontos konszonancia a húr harmadainál található, ez a kvint; frekvenciaaránya 2:3, szorzószáma: 1,5x. Ha képzeletbeli húrunk 100 Hz volna, akkor annak kvintje 150 Hz lenne, mert 100 x 1,5 = 150.
(A további hangközarányok matematikai részletességgel a Mi is az zene? - I. rész melléklete - A hangközök című fejezetben vannak kidolgozva.)
A pithagoraszi hangrendszer az Ádám által természetes úton felfedezett, a lehető legkonszonánsabb hangzású hangközre, a kvintlépésekre próbálta alapozni a rendszerépítést. Ha ezt az elvet manapság alkalmazni szeretnénk, akkor a mai rendszerbe illesztve a következő sorozatot kapnánk C alaphangról kiindulva:
C - G - D - A - E - H - Fisz - Cisz - Gisz - Disz - Aisz - Eisz - (Hisz)
Ez 12 kvint lépés. Tapasztaltabbaknak már feltűnt a szabály: ez a kvintkör hangjai felfelé (itt jobbra kezdve):
A legtapasztaltabbak egyúttal azt is megállapíthatták, hogy a kvintlépésekkel további skálarendszereket is meghatároztunk:
-
5 kvintlépés skálává való rendezése esetén félhang nélküli pentatónia (erről szól a Pentaton skálák I. című fejezet),
-
7 kvintlépés skálává való rendezése esetén diatonikus heptatónia (erről szól az Alapskálák I. című fejezet),
-
12 kvintlépés esetén félhangos kromatika, amely a mi temperált hangrendszerünk alapját képezi.
Viszont C alaphangról indított 8 oktávlépéssel...
C - C - C - C - C - C - C - C - C
...valójában zeneileg ugyanarra a hangra kéne érkeznünk, mint ahol a 13. kvint van. Sajnos ez nincs így és ezt a matematika is képes bizonyítani...
...mert tetszőleges, a táblázatban 100-tól kiindulva, a hangközarányok szorzószámait felhasználva (oktáv = 2x, kvint = 1,5x) nem azonos lesz a végeredmény. A különbség értéke:
12974,634 / 12800 = 1,0136432
Ellenőrzésképpen fogalmazzuk meg ezt kissé elvontabb képlet formájában, amelynek végeredménye ugyanaz lesz:
Ez az érték centben kifejezve 23,46, ami a temperált félhang majdnem egynegyed része. A fenti kvint hangsor 13. kvintlépése (Hisz) és a 8. oktáv (C) közti hang között tehát ennyi az akusztikai különbség. Az eltérés neve pithagoraszi komma. Vegyük észre, hogy ez az érték a minden egyes kvintlépésnél folyamatosan fellépő akusztikai különbség összege. Tehát mivel 12 kvintlépésünk van, az egy kvintlépésre eső akusztikai különbség: 23,46 / 12 = 1,955 cent. Ez adódik tehát össze egy pithagoraszi kommává.
Mi következik ebből?
Ez az eltérés nagy probléma, mert bár sikerült meghatároznunk az összes, számunkra fontos hangot, ám a kvintkör nem tud "felül", azaz a 13. kvintnél bezáródni. A kör tehát valójában nem kör, hanem spirál, ezért a pithagoraszi hangrendszer bizonyos hangnemeiben bizonyos hangok és hangközök hamisan szólnak.
A pithagoraszi komma kiküszöbölése a rendszer alapelveiből következik. Mivel feltehetően a legfontosabb a kvintek tisztasága, ezért a kvintkört felül csakis úgy tudjuk bezárni, ha valamelyik kvintet a komma értékével csökkentjük. Ez általában a kvintsorozat felső részén, a 8.-9. kvintlépés környékén történik.
