Összhangzattan XIX.

Matematikai összhangzattan - Maczkó Dávid gondolatai

 

Bevezetés

Matematikai összhangzattan

Hangkeresés

Hangkészletkeresés

 

Bevezetés

 

Maczkó Dávidot már megismerhettünk a Skálakatalógus Ia. című fejezetből:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Maczkó Dávid

 

Ebben a fejezetben a skála-, és hangzatépítkezés új matematikai lehetőségeit tárja ki felénk. Bevallom őszintén, a magam részéről néhol még nem egészen értem teljesen újszerű gondolatait, de a tapasztaltak tudják, hogy az emberi történelemben a forradalmi gondolatok először mindig értetlenségbe ütköztek.

 

Matematikai összhangzattan

 

Jelen cikk a zene újfajta matematikai leírását kísérli meg. A hangok akusztikai tulajdonságainak vizsgálatával fény derülhet az akkordok, skálák összefüggéseire is.

 

Hangkeresés

Emberi fül logaritmikus hallással rendelkezik. Vagyis ha kétszeres frekvenciakülönbségű hangokat hallunk egymás után, a hangközöket azonosnak érezzük. Ezért nem alkalmas egy olyan összhangzattani rendszer használata, ahol a szomszédos hangok frekvenciájának különbsége egyenlő. Olyan rendszert kell kidolgozni, ahol a szomszédos hangok frekvenciájának hányadosa egyenlő. Első lépésként nézzünk át néhány, a hangokhoz kapcsolódó fizikai fogalmat!

 

A hang a levegő periodikus nyomásváltozása következtében érzékelhető:

Pénzes-féle Gitáriskola - A levegő a nyomásváltozás következtében sűrűsödik és ritkul...

A levegő a nyomásváltozás következtében sűrűsödik és ritkul

 

Célszerű azonban az amplitúdó és az idő függvényében ábrázolnunk a hangokat, illetve jelölhetjük amplitúdó-, és frekvencia-grafikonon is:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Célszerű azonban az amplitúdó és az idő függvényében ábrázolnunk a hangokat, illetve jelölhetjük amplitúdó-, és frekvencia-grafikonon is...

 

Az alaphangot, tehát azt az eredeti hangot, amihez viszonyítunk, vessük össze egy olyannal, amelynek frekvenciáját kétszeresére emeltük:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Az alaphangot, tehát azt az eredeti hangot, amihez viszonyítunk, vessük össze egy olyannal, amelynek frekvenciáját kétszeresére emeltük...

Ha az alaphang frekvenciáját egész számmal szorozzuk, akkor minden esetben találkozunk a következő jelenséggel:

 

az alaphang amplitúdója legalább 2 esetben egyezik a módosított hangéval.

 

Ha a 2 hatványaival szorozzuk az alaphang frekvenciáját, akkor az alaphang amplitúdója három esetben egyezik a módosított hang amplitúdójával. A két szélső esetben a fázisuk megegyezik, a harmadik esetben pedig ellentétes a fázisuk. Most nézzük meg ezt a megközelítést prímszámmal is! (Azért érdemes ezeket a számokat használni, mert ezek csak önmagukkal és eggyel oszthatóak.) Ha más prímszámmal  szorozzuk az alaphang frekvenciáját, szintén három esetben lesz egyenlő a két hang amplitúdója és csak az utolsó esetben nem egyezik a fázisuk:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Ha más prímszámmal  szorozzuk az alaphang frekvenciáját, szintén három esetben lesz egyenlő a két hang amplitúdója és csak az utolsó esetben nem egyezik a fázisuk...

Ezekből az ismeretekből levonható következtetések:

  1. az alaphangot tartalmazza az a hang (felharmonikus), amelynek a frekvenciája egy egész szám és az alaphang frekvenciájának szorzatával egyenlő. Vagyis egy hang felharmonikusainak frekvenciáját úgy kapjuk meg, hogy az alaphang frekvenciáját egy egész számmal szorozzuk (célszerű ezt prímszámmal megtennünk).

  2. Ha eggyel szorzunk, az érték nem változik.

  3. Ha kettővel szorzunk, megkapjuk az alaphang 1. felharmonikusát. Ez a felharmonikus hasonlít a legjobban az alaphangra. Ezért ezt a két hangot ugyanannak a hangnak tekintjük a zenében (természetesen a két hang hangmagassága eltérő, de ha ezt a két hangot egyszerre szólaltatjuk meg, egy hangot fogunk hallani). Ezt a hangközt nevezzük oktávnak.

  4. A 2 hatványaival kapott felharmonikusok kellemesebbek az emberi fülnek, mint a páratlan számok hatványaival kapottak.

  5. Egy erősítő torzításakor a felharmonikusok amplitúdója (hangereje) megnövekszik a kimeneti jelben. Egy csöves erősítő jellemzően a 2 hatványaival kapott felharmonikusokat adja hozzá az eredeti jelhez, egy félvezetős pedig a páratlan számok hatványaival kapott felharmonikusokat is. Ezért kellemesebb hallgatni egy csöves erősítőt, mint egy tranzisztorosat. Sőt, a csöveseket szándékosan túlvezérlik a kívánt sound elérése érdekében.

Hangkészletkeresés

Mivel az oktávok nagy hangközök, ezért ez a hangmennyiség nem elégíti ki a zene igényeit. Az a feladat, hogy töltsük fel az oktáv közti helyet zenei hangokkal úgy, hogy azok harmonizáljanak is egymással. E feladat megoldására több lehetőség is adott. A kínaiak úgy alkották meg a hangkészletüket, hogy az alaphang frekvenciáját megháromszorozták:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - A kínaiak úgy alkották meg a hangkészletüket, hogy az alaphang frekvenciáját megháromszorozták...

 

Ebből a táblázatból világosan látszik, hogy a számításokat elvégezve a 12. utáni következő hang és az alaphang frekvenciája közt kevés különbség van. Vagyis a 13. hangot tekinthetjük az alaphanggal egyező hangnak. Itt már újraindul a kör. Ebben az esetben tehát 12 hangot találtunk:

Pénzes-féle Gitáriskola - Itt már újraindul a kör. Ebben az esetben tehát 12 hangot találtunk...

De mi történik akkor, ha nem hárommal, hanem egy másik prímszámmal szorozzuk meg az alaphang frekvenciáját? Hiszen azokban az esetekben is az alaphanghoz viszonyított felharmonikusokat kapunk. Például nézzük meg 5 esetében:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - De mi történik akkor, ha nem hárommal, hanem egy másik prímszámmal szorozzuk meg az alaphang frekvenciáját? Hiszen azokban az esetekben is az alaphanghoz viszonyított felharmonikusokat kapunk. Például nézzük meg 5 esetében...

 

Vagy csak 3 hangunk lesz, vagy rengeteg. A túl sok hang azért nem jó, mert például a gitáron nem lehetne megkülönböztetni két szomszédos hang helyét, zongorán pedig nem lehetne átfogni egy oktávot. Egy ilyen hangrendszer egyedül bundnélküli hangszeren, például hegedűn lenne könnyen kivitelezhető, gitáron slide-ot kell használni hozzá.

A 12 hang más szempontból is figyelemreméltó. Maga a 12-es szám logikus magyarázat lehetne arra, hogy miért ennyi hangot használunk. A 12-es számrendszerben könnyebb fejben számolni, mert a 12 osztható 1, 2, 3, 4, 6, 12-vel. Ne felejtsük el azt sem, hogy az ókorban nemigen ismerték el a racionális és az irracionális számokat, ezért igyekeztek olyan számrendszereket találni, ahol minden számolás kijön lehetőleg egész számra. A német, angol nyelvben valószínűleg ezért van külön neve a 11-nek és a 12-nek. (A magyarban 12 = tucat.)

Ezek szerint nem véletlen a 12 hang, lehetséges, hogy szándékosan ennyit kerestek és ennek a törekvésnek a következménye a kínai bácsi bambuszharmadolása?

Mindenesetre akármennyire harmonikus ez a skála, de nem pontos, hiszen csak az alaphangra harmonizál. Ahhoz, hogy tökéletesen azonos hangtávolságokat halljunk egy skálában, mértani sorozatként kell kezelnünk és meg kell találnunk azt a számot, amivel ha megszorozzuk az alaphang frekvenciáját, egy adott darab számolás után pontosan megkapjuk az alaphang 1. felharmonikusát. A jelen esetben 12 számolás elvégzése után kell eljutnunk az 1. felharmonikusig. Vagyis azt a számot keressük, amelynek a 12-dik hatványa kettő. Ez a szám:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - A temperálás alapképlete

 

Ezt a hangolási módszert használva kiesnek az alaphang pontos felharmonikusai. Ezzel a módszerrel megkapjuk a kiegyenlített lebegésű temperált hangskálát; tehát bármennyi hangot el tudunk helyezni egy oktávon belül, csak a kívánt hangmennyiséget kell a 12-es helyére írni.

 

Az alábbi táblázatban felsorolom a különböző hangolásokhoz tartozó szorzókat. A rezgésszámok mellett vannak a pontos, majd a kerekített értékek. Ezek a tömbök a kínai rendszert, a klasszikus rendszert és a kiegyensúlyozott lebegésű számításokat hasonlítja össze:

 

Pénzes-féle Gitáriskola - Ezek a tömbök a kínai rendszert, a klasszikus rendszert és a kiegyensúlyozott lebegésű számításokat hasonlítja össze...