HÍREK
LEGUTÓBBI MÓDOSÍTÁSOK FÓRUM
"NO MOST SZÓLJ HOZZÁ" ZENÉS
BEMUTATKOZÁS AJÁNLÓ
OLDALAK OSIRE
ÁTTÖRÉS A TECHNIKÁBAN

Az alapskálák VI.

Legutóbbi módosítás: 2011.04.12.

 

A C-dúr skála bővítéseinek matematikája

A bővítés kiterjesztése más skálákra

A C-dúr skála szűkítési lehetőségei

C-hexachord

C-dúr pentaton

C-tetrachord

C-trichord

C-D hangok

Összegzés

 

A Tévedések és egyéb vígjátékok fejezet "Bővített líd skála" című részében kiszámolom, hogy egy líd skála hányféleképpen bővíthető saját és további hangokkal. Ebben a fejezetben ezt a gondolatmenetet szeretném folytatni, egy kicsit más, matematikai szempontból letisztultabb, skálaszempontból pedig átláthatóbb, nevezetesen egy C-dúr skála formátumában.

 

 

Azért választottam ezt a skálát kiindulópontként, mert kizárólag fehér billentyűket tartalmaz, hiszen ez a skála alkotja az úgynevezett törzshangsort (C-D-E-F-G-A-H-C)...

 

 

...tehát az összes lehetséges bővítés a fekete billentyűkön fog megvalósulni. Igaz, nehéz ezt a fajta bővítést a gitár fogólapján tetten érni, de hála Istennek elénk ugrott a masszív, mindent elnyelő Pénzes-féle módszertan...☺

 

 

...amely mindenféle módszertani eszközzel megpróbálja ezen vizuális anomáliákat betömögetni. Például ha C-dúr skálánkat statikusan, egyetlen húrra húzzuk szét (egyhúros gyakorlat formájában), akkor mindez viszonylag jól átláthatóvá válik:

 

 

Ezt a bővítési módszert egyébként sokan alterációnak nevezik, amivel kellőképpen el is ködösítik, elmisztifikálják a mögötte lévő eljárást. A skála saját vagy idegen hangokkal történő kibővítése sokszor idegenszerű skála-, és vele akkordhangzásokat eredményez, amivel persze nincsen baj, ha hozzáértő ember, mondjuk Richard Wagner vagy Frederic Chopin teszi. Manapság a kortárs jazz használja előszeretettel ezt az eljárást, csakhogy az alterált zenéhez legtöbbször nem rendel hozzá gondolati tartalmat, ettől aztán az egész élvezhetetlenné válik. Erről az esztétikai problémáról részletesen írok a Kritikai fórum fejezet "Magánvéleményem napjaink jazz-éről" című részben.

Nos, hogy kinek melyik "alterált" skála tetszik, ezt döntse el mindenki saját maga. Mindenesetre ez a kijelentés, illetve a választás felajánlása jóval demokratikusabb lépés, mintha egy többszörösen bővített skálára spontán ráfogom, hogy ennek számomra egészen "hajnalhasadás holdtölte után" hangzása van. Amivel persze lehet, hogy igazam van, azaz mindenképpen számít a szubjektív ítélet, ám ha mindemellett nem tudok felmutatni ebből levezethető, valóban értékes zenét, akkor csak hülyítem a laikusokat. Figyelem, néhány önjelölt zseni ezt teszi a közönségével!

 

A C-dúr skála bővítéseinek matematikája

 

Ha a teljesség igényével lépünk fel, akkor a bővítés egy speciális esetével kell kezdenünk: ekkor még nem teszünk a skálába idegen hangokat, csupán a meglévőket módosítjuk. Itt még nem tudunk behozni matematikát, mert ez a fajta bővítés erősen skálafüggő, azaz a premisszák (azok a kiindulópontok, amelyekből levonhatjuk sokszor matematikai következtetéseinket) nem egyértelműek.

Egy C-dúr skálát ötféleképpen tudunk saját hangjaiban bővíteni, hiszen 5 olyan további hang van (ez az 5 db fekete billentyű), amire egyáltalán bővíthetünk. (Itt kell megjegyzem, hogy most természetesen elhanyagolom az enharmonikus egyezésekből adódó bővítési lehetőséget.)

 

 

C-Cisz-D-Disz-E-F-Fisz-G-Gisz-A-Aisz-H-(C)

 

A fentiekből levezethető bővítések a következők:

• C-D-E-F-G-A-H-(C) - alap

• Cisz-D-E-F-G-A-H-Cisz - ez a skálaszerkezet már önmagában abszurdum, hiszen az alaphangot, a C-t módosítottuk, ezáltal a legfontosabb kijelentés, a "C-dúr" állítás veszett oda. Épp ezért ez csak egy "nagyon elméleti" skála.

• C-Disz-E-F-G-A-H-C

• C-D-E-Fisz-G-A-H-C

• C-D-E-F-Gisz-A-H-C

• C-D-E-F-G-Aisz-H-C

Láthatjuk, hogy nincs értelme az E hangot F-re és a H hangot C-re módosítani, mert ezekben az esetekben az eredetileg 7 fokú skála 6 fokúvá szűkülne. Úgy vélem, hogy a vizsgálódás szempontjából a skála hétfokúságához ragaszkodnunk kell. A felvázolt fenti 5 db skála a Pénzes-féle tükörképekben:

 

Cisz-D-E-F-G-A-H-Cisz

 

C-Disz-E-F-G-A-H-C

 

C-D-E-Fisz-G-A-H-C

 

C-D-E-F-Gisz-A-H-C

 

C-D-E-F-G-Aisz-H-C

 

A fenti gondolatmenet tehát 5 db saját hanggal operáló skálát eredményezett. Folytassuk tovább a bővítést, most már idegen, a skálához eredetileg nem tartozó hangokkal!

A temperált hangrendszerünkben 12 félhang van. Mivel a C-dúr skála ebből 7 hangot használ fel (azaz hétfokú), ezért összesen 5 hanggal tudjuk bővíteni. Már említett módon az 5 hang mindegyike fekete billentyű:

 

 

A felmerült problémának matematikai megközelítése a következő: hányféleképpen tudunk betenni egytől öt golyót öt lyukba? Már megszokhattuk, ez tiszta kombinatorika, annak ismétlés nélküli kombinációja. Általános képlete:

 

 

Nyilvánvalóan különbséget kell tennünk a felhasznált golyók mennyisége között. Így jön létre 5 csoport:

• 1 golyó esetén 8 fokú a skála,

• 2 golyó esetén 9 fokú a skála,

• 3 golyó esetén 10 fokú a skála,

• 4 golyó esetén 11 fokú a skála,

• 5 golyó esetén 12 fokú a skála.

A kombinációs lehetőségeket könnyű felvázolnunk két számmal:

• 0 - nincs benne a lyukban,

• 1 - benne van a lyukban.

1 golyó esetén 8 fokú a skála:

1. 10000

2. 01000

3. 00100

4. 00010

5. 00001

2 golyó esetén 9 fokú a skála:

1. 11000

2. 10100

3. 10010

4. 10001

5. 01100

6. 01010

7. 01001

8. 00110

9. 00101

10. 00011

3 golyó esetén 10 fokú a skála:

1. 11100

2. 11010

3. 11001

4. 10110

5. 10101

6. 10011

7. 01110

8. 01101

9. 01011

10. 00111

4 golyó esetén 11 fokú a skála:

1. 11110

2. 11101

3. 11011

4. 10111

5. 01111

5 golyó esetén 12 fokú a skála:

1. 11111

Az utolsó, 5 golyós kombináció már felismerhetően egy kromatikus skála, amely tehát csakis félhanglépéseket fog tartalmazni. Ezzel együtt egy (valójában bármilyen) hétfokú skála idegen hangokkal történő, összes kombinációs lehetősége:

 

5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31

 

Ezt a 31 darab skálát vázoljuk fel most egyhúros szerkezetben, C-dúr esetében.

 

1 golyó esetén 8 fokú a skála

10000

 

01000

 

00100

 

00010

 

00001

 

2 golyó esetén 9 fokú a skála

11000

 

10100

 

10010

 

10001

 

01100

 

01010

 

01001

 

00110

 

00101

 

00011

 

3 golyó esetén 10 fokú a skála

11100

 

11010

 

11001

 

10110

 

10101

 

10011

 

01110

 

01101

 

01011

 

00111

 

4 golyó esetén 11 fokú a skála:

11110

 

11101

 

11011

 

10111

 

01111

 

5 golyó esetén 12 fokú a skála

11111

 

Ha a fenti részeredményeket összeadjuk, akkor a következő végeredményre juthatunk. Egy C-dúr skála (de valójában bármilyen) hétfokú skála összes kombinációs lehetősége:

 

5 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 36

 

Ugyanakkor azt is észrevehetjük, hogy minél több idegen hangot használunk fel, annál abszurdabb lesz a skálaszerkezet. Szakmai véleményem szerint ezért zeneileg csak a 8 és 9 fokú skálákkal érdemes kísérletezni.

 

A bővítés kiterjesztése más skálákra

 

Mivel a C-dúr skálához további 7 alapskála tartozik...

 

 

...ezért a bővítést könnyen kiterjeszthetjük rájuk is. Mivel azok is hétfokúak, a fenti végeredmény nyilvánvalóan rájuk is érvényes: skálánként 31 db további, bővített skálát kapunk. Ez a 7 alapskála esetében összesen 7 x 36 = 252 db bővített skálát jelent.

 

A C-dúr skála szűkítési lehetőségei

 

Logikusan vetődik fel a kérdés, hogy lehetséges-e a bővítés mintájára szűkíteni a C-dúr skálát? Ez az eljárás további hangokkal való bővítés helyett a skálahangok fokozatos elvételét fogja jelenteni. Igen, természetesen lehetséges, de szerintem itt már nem érdemes bevezetni a matematikát. Annak igazán nem sok értelmét látom, hogy elkezdjük hangonként redukálni a C-dúr skálát, hiszen a sok matematikai vizsgálódás ellenére is még mindig a zenének kell maradnia a legfontosabb tényezőnek. Ezért itt csupán azon szűkítési lehetőségeket említem meg, amelyek a zenében egyébként is felmerülnek vagy a múltban felmerültek.

 

C-hexachord

A hexachord hatos hangcsoportot jelent. Az ógörögök még négyes hangcsoportokból, tetrachord egységekből vezették le skáláikat, bár megjegyzem: a skálaszerkezetet hangmagasságban lefelé állapították meg (erről részletesen írok az Az alapskálák eredete című fejezetben); a hexachord skálarendezési elv csak a középkorban vetődik fel 1000 körül Arezzói Guidonál:

 

 

A fenti Guido-féle táblázatból az elv egyszerűen kiolvasható: a legfelső H hangot elvesszük a C-dúr skálából...

 

C-D-E-F-G-A

 

C-dúr pentaton

Az emberiség legősibb skálája a pentatónia. A dúr pentatónia ötfokú, azaz 5 hangból áll, de a hangelvétel itt már nem következetes, azaz a következő eldobandó hang nem az A, hiszen az 5 dúr pentaton skálahang 1 oktávon belül, sajátos skálabeosztás szerint oszlik el. Ez a hangsor tehát a C-dúr skálához képest "foghíjas", de hitelesen őrzi a zenei jelleget. S mivel ilyen, benne leplezetlenül hallhatjuk azt a legmélyebb ősiséget, amelyet manapság leginkább a kínai zene képvisel.

 

C-D-E-G-A-C

 

C-tetrachord

A tetrachord négyes hangcsoportot jelent. Egy-két egyszerű gyerek-, és népdal nem lép túl ezen a hangterjedelmen. Nekünk, gondolkodó gitárosoknak főként technikai értelemben fontos, mivel az ilyen szerkezettel felépített skála külön szólótechnikai kategória. Erről részletesen írok a Tetrachord-skálák című fejezetben. Megjegyzem, szintén technikai vonatkozásban szintúgy a legfontosabb technikai szerkezet a kvint hangolású vonós hangszereknél, például a hegedűnél és brácsánál, valamint a csellónál.

 

C-D-E-F

 

C-trichord

A trichord hármas hangcsoportot jelent. Egy-két banális gyerekdal sem lép túl ezen a hangterjedelmen. A Pénzes-féle módszertanban technikai értelemben a legfontosabb skálaszerkezet alapegysége, a "minden húron 3 pengetés" elv hordozója. Erről részletesen írok az Alapskálák I. című fejezetben.

 

C-D-E

 

C-D hangok

Ez már csak egy hangköz, nevezetesen egy nagyszekund. Zeneelméletileg frekvenciaaránya 9/8, bár a temperált hangrendszerben ez a tiszta, akusztikai arány torzul. A hangközökről részletesen írok a Mi is a zene? című fejezetben.

 

C-D

 

Összegzés

 

Érdemes megismételnünk azon gondolatokat, amelyek honlapomon először a Tévedések és egyéb vígjátékok fejezet "Bővített líd skála" és "Hétfokúság - nyolcfokúság" című részeiben reppentek fel. Ezen gondolatok létjogosultságát később tanítványi kérdés is megerősítette. A lényeg: a tonalitást, azaz az alaphangnemiséget harmónia-szinten az alapskálák, még pontosabban egy dúr skálára építhető hármashangzatok  határozzák meg. Erről részletesen írok és ki is van dolgozva az Improvizáció és az Alapskálák III. című fejezetekben.

 

 

Még egyszer: a fő zenei (tonális) referencia az alapskálák. Ez azt jelenti, hogy zeneelméletileg és sokszor technikailag is mindig tőlük fogunk kiindulni. Egyedül ez a fix kiindulópont biztosíthatja azt, hogy az érdeklődő tanítvány valaha talán megérti a rendszer egészét. Persze ez nem zárja ki, hogy kényünk-kedvünk szerint módosítsuk az alapskálákban lévő bármelyik hangot (alterálás), ám ezen módosított skálákat sohasem emelhetjük az alapskálák szintjére...